一階隨機優勢的含義
使用效用指數 $ U(x) = x $ 證明如果分佈 $ F $ 一階隨機支配分佈 $ G $ ，然後的平均值 $ x $ 在下面 $ G $ 不能超過平均值 $ x $ 在下面 $ F $ .
嘗試證明 - 假設 $ F $ 是一階隨機佔優 $ G $ 然後
$$ F(x) \leq G(x) \ \ \forall x $$由於期望保持線性，因此它遵循$$ \mathbb{E}\left[F(x)\right] \leq \mathbb{E}\left[G(x)\right] \ \ \forall x $$ 我不確定這是否正確或足夠嚴格。非常感謝任何建議。
我們有兩個 CDF $ F $ 和 $ G $ , 這樣 $ F $ FOSD $ G $ IE $ F(x) \leq G(x) $ $ \forall x $ . 考慮隨機變數 $ X\sim F $ 和 $ Y\sim G $ . 另外，假設 $ X $ 和 $ Y $ 取非負值。
我們想證明 $ \mathbb{E}(X) \geq \mathbb{E}(Y) $ .
這是直覺： $ F(x) \leq G(x) $ $ \forall x $ 表示隨機變數的機率 $ X $ 取小於 $ x $ 小於的機率 $ Y $ 取小於 $ x $ , 這對每個 $ x $ . 所以， $ X $ 取高於 $ x $ 經常比 $ Y $ 表明 $ X $ 將具有更高的均值 $ Y $ .
這是證明：
$$ \begin{eqnarray*} & F(x) \leq G(x) \ \ \ \forall x \ \rightarrow & 1 - F(x) \geq 1- G(x) \ \ \ \forall x \ \rightarrow & \int_{0}^{\infty}1 - F(x) dx \geq \int_{0}^{\infty} 1- G(x)dx \ \rightarrow & \int_{0}^{\infty}\Pr(X> x) dx \geq \int_{0}^{\infty} \Pr(Y> x)dx \ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}f_X(a) da dx \geq \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}f_Y(a) da dx \ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a}f_X(a) dx da \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a}f_Y(a) dx da \ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} dx \ f_X(a) \ da \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} dx \ f_Y(a) \ da \ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} a \ f_X(a) \ da \geq \int_{0}^{\infty} a \ f_Y(a) \ da \ \rightarrow & \mathbb{E}(X) \geq \mathbb{E}(Y) \ \end{eqnarray*} $$