金錢的效用實際上是對數的嗎？
很抱歉向非經濟學領域的人提出什麼可能是基本問題。
但我正在考慮確定一群人如何“公平地”分攤賬單，這意味著他們每個人花費相同數量的公用事業，根據他們的年收入計算。我是用對數來做的，因為這是常見的建議。
我看到很多人提到，隨著貨幣的增加，貨幣的效用大致呈對數。它通常被表述為經驗法則，但我沒有看到實際的理由。這個假設似乎無處不在。例如，對所有收入（不僅僅是消費或勞動收入）徵稅的（實際）固定所得稅被視為既不是累退也不是累進——但固定稅收假設（每個人都將支付相同的百分比）再次指出了以下想法：具有對數效用的貨幣。
我的問題是，這真的被測量了嗎？我看到有跡象表明，經濟學家實際上在研究他們分析各種收入水平的購買決策。似乎有了足夠的數據點，實際上可以計算出效用函式。
這已經完成了嗎？它實際上是對數的嗎？它是什麼？貨幣價值是否有最新的效用函式？
“本質上，所有模型都是錯誤的，但有些是有用的”George Box， 經驗模型建構和響應曲面
人們想知道財富的效用的近似值是多少？
為了保證存在偏好的效用函式表示，您需要一些關於偏好的假設。通常，這些是具有連續性、單調性和凸性的完整性和傳遞性常見的附加假設，以提供我們在大多數經濟環境中看到的表現良好的偏好。Levin 和 Milgrom (2004)提供了一個技術性但簡短的概述，概述了這一經濟學分支中的定義和推導，稱為“選擇理論”。
但這只是為了存在序數效用函式（對商品捆綁進行排序但導致效用沒有經濟意義的功能，除了具有較高效用的捆綁比具有較低效用的捆綁更受歡迎）存在。事實證明，序數效用函式的偏好被任何正仿射變換保留。獲得特定的功能形式，例如 $ log(x) $ 重要的是，您需要基數效用，其中偏好的值很重要（儘管即使在這裡它們也可以通過正常數和添加的常數重新縮放）。基數效用函式在金融和宏觀經濟環境中更為常見，儘管這樣的效用函式需要更多才能存在。正如維基百科所說：
基數效用的概念被認為是過時的，除非在特定情況下，例如風險下的決策、功利主義福利評估和跨期評估的貼現效用仍然在應用。在其他地方，例如在一般消費者理論中，具有較弱假設的序數效用是首選，因為可以得出同樣強大的結果。
鑑於行為經濟學實驗的結果，提供了偏好可能違反完整性和傳遞公理的證據，很可能不存在這樣的“真實”函式。但是，正如 Box 的引述所示，它們可能仍然有用。
日誌實用程序函式具有很好的屬性。對數效用函式是恆定相對風險厭惡 ( CRRA ) 效用函式的特例。粗略地說，這一系列效用函式將財富百分比的風險視為所有財富水平的常數。也就是說，富人和窮人都同樣擔心財富會受到 10% 的衝擊。同樣，將 10% 的財富花在某件事上的效用“痛苦”在所有財富水平上都是相同的。這是一個消費邊際效用遞減函式的例子。
日誌實用程序特別容易使用，因為它具有簡單的導數，並反映了對風險的“低”但非零水平的偏好。此外，在對數效用下，利率的財富和替代效應在跨期選擇問題中抵消，這進一步簡化了一些模型。在投資組合分配中，對數效用最大化實際上是最大化長期回報的幾何平均回報，這對於長期投資者來說作為投資目標直覺上是明智的。此外，當處理對數正態的財富衝擊和對數效用函式時，對預期效用值有很好的封閉形式解決方案（在 CRRA 案例中它們稍微複雜一些）。這是嘗試使用實驗數據校準 CRRA 實用程序的範例：
對於 CRRA 的這個規範，0 值表示風險中性，負值表示喜歡風險，正值表示風險厭惡。因此，我們看到了風險規避的明確證據：平均 CRRA 係數為 0.64。該分佈與 Holt 和 Laury 使用大學生和 MPL 設計在美國獲得的可比估計值一致
$$ 2002 $$和哈里森、約翰遜、麥金尼斯和魯斯特羅姆$$ 2003a $$$$ 2003b $$.
如果 CRRA 是正確的規範，並且實驗點估計恢復了真實的 CRRA 參數，那麼我們將接近對數效用，當您在係數接近時採用 CRRA 效用函式的極限時會發生這種情況 $ 1 $ .
總之，有一些經驗證據表明，偏好可以用對數效用函式來近似，並且很容易使用。
憑經驗推斷效用函式的近似形式幾乎是不可能的，因為所有數據都可以告訴我們如何根據平均效用對選項進行排序，例如，如果人們更喜歡一場賭博而不是另一場賭博。但有一個理論動機。如果我進行連續的獨立賭博，每次賭注都帶有我選擇的任意賭注，並且我知道我的效用函式並用它來計算我的最佳總投資，那麼每次賭博都會對我的財富產生一定的隨機乘法效應，或者相當於對我的對數財富的隨機附加效應。因為我的總和是為了最大化我的平均效用，所以對數效用函式和定理 $ \mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}X+\mathbb{E}Y $ 暗示最佳策略是以顯而易見的方式一次賭博。任何其他效用函式通常都缺乏這種理想的屬性。