聯合動態規劃：小組活動
在這裡，我們有兩個代理可以花時間做一些小組活動（ $ h $ ) 或待在家裡 ( $ l $ ）。每個代理 $ i $ 試圖最大化他們各自的動態規劃問題：
$$ \begin{align} & \max \sum^\infty_{t=0} \beta^t h^{\alpha_i}l_i^{1-\alpha_i} \ & \text{s.t.} \quad h_i + l_i = \bar{T} \ & h = \min\left{h_i, h_{-i}\right} \end{align} $$
- 這個問題定義清楚了嗎？也就是說，是否有解決方案/這個問題在經濟上是否有意義？
- 是否存在平衡 $ h_i = h_{-i} $ ，如果是這樣，什麼時候？只有當 $ \alpha_i = \alpha_{-i} $ ?
（請注意，適用典型的稻田條件和非負性約束。）
**編輯：**好的，為了使這成為一個實際的動態程式問題（derp），我也提供了這個問題的修改版本供您閱讀：
$$ \begin{align} & \max \sum^\infty_{t=0} \beta^t h_t^{\alpha_i}l_i^{1-\alpha_i}k_t\ & \text{s.t.} \quad h_{i,t} + l_i = \bar{T} \ & h_t = \min\left{h_{i,t}, h_{-i, t}\right} \ & k_t = (1-\lambda + \frac{h_t}{\bar{T}})k_{t-1} \cdot \end{align} $$ 在哪裡 $ k $ 是團體活動中的一些“資本”股票，使人們越喜歡活動，做的越多。明顯地 $ \lambda \in (0,1) $
如果我理解正確，時間維度只是分散注意力，因為代理每輪都面臨一個單獨的優化問題，沒有跨期預算約束。因此
$$ \begin{align} & \max_{h_i} h^{\alpha_i}l_i^{1-\alpha_i} \ & \text{s.t.} \quad h_i + l_i = \bar{T} \ & h = \min\left{h_i, h_{-i}\right} \end{align} $$ 每個代理都存在一個連續的最佳響應函式： $$ BR_i(h_{-i}) = \min\left(\alpha_i \cdot \bar{T}; h_{-i} \right) $$ 平衡是 $$ h_1 = h_2 = \min_i \alpha_i \cdot \overline{T}. $$