完美互補的邊際替代率
我遇到了以下問題：
為以下函式確定點 (x1, x2) = (5,1) 處的邊際替代率 MRS(x1, x2)：
u(x1, x2) = min(x1, x2)。
解決方案是此時 MRS 未定義。
但是，我不明白為什麼會這樣。通過這個效用函式，我們得到一條與原點成 45 度角的收入擴張路徑，因為這兩種商品的消費量總是相等的。據我所知，這種函式的 MRS (u(x1, x2) = min(αx1, βx2)) 僅在這些曲線的確切角度處未定義，即 x2 = (α/β)x1。然而，在手頭的問題中，我們有 x2 < (α/β)x1，即 1 < 5。這不應該意味著點 (5, 1) 處的 MRS 實際上是 0 並且不是未定義的嗎？
我認為這是一個棘手的問題。
首先，你是完全正確的 MRS 在扭結處未定義 - 這是微不足道的 MRS 是無差異曲線的斜率，在這種情況下是 L 形的，並且在扭結上沒有定義導數。
所以這給我們留下了 L 形函式的另外兩個部分。垂直部分和水平部分。
在無差異曲線的水平部分 $ \alpha x_1 > \beta x_2 $ MRS 給出為：
$$ MRS= \frac{U’{x_1}}{U’{x_2}} = \frac{0}{\beta}= 0 $$
所以這裡明確定義了 MRS。
然而，在垂直部分 $ \alpha x_1<\beta x_2 $ 我們會有一個問題，因為：
$$ MRS = \frac{U’{x_1}}{U’{x_2}} = \frac{\alpha}{0} = \infty | x_1 \wedge x_2 \geq 0 $$
但這裡是由於除法 $ 0 $ 有些人仍然說MRS沒有定義。
然而，這裡棘手的部分是選擇哪個好繼續 $ x $ -axis 和哪個好 $ y $ -axis 是任意的。通常人們會把 $ x_1 $ 在 $ x $ -軸和 $ x_2 $ 在 $ y $ -axis 但原則上完全可以放置 $ x_1 $ 在 $ y $ -軸和 $ x_2 $ 在 $ x $ -軸。在那種情況下，上面的結果將完全相反。
如果這是為了考試，通常起草練習的人只是製作一些簡單的答案鍵，可能無法涵蓋所有可能的解決方案，並且答案鍵可能包括他們角色顛倒的選項。