效用
邊際效用意義和性質
考慮商品 $ X $ 和 $ Y $ 這樣一單位商品的邊際效用 $ X $ 總是 $ n $ 好單位 $ Y $ . $ X $ 和 $ Y $ 是完美的替代品。
**問題1：**以上在數學上是什麼意思：
- $ \text{MU}_X(1) = \text{MU}_Y(n) $ ,
- 或者 $ \text{MU}_X(t) = n \cdot \text{MU}_Y(t) $ 對全部 $ t \in X \cap Y $ ?
- 或者 $ \text{MU}_X(t) = \text{MU}_Y(nt) $ 對全部 $ (t,nt) \in X \times Y $ ?
對我來說，（2）似乎不太可能，（3）是（1）的概括，這似乎是最有可能的。
**問題2：**邊際效用是 $ n $ 好單位 $ Y $ 如同 $ n $ 乘以邊際效用 $ 1 $ 好單位 $ Y $ 保持數量 $ X $ 固定的？
這通常是不正確的，例如，如果我們採取 $ U(x,y) = y^3 $ . 但是這個效用函式可能不滿足給定的條件，因此這個問題。事實上，如果一般情況下這不是真的，那就說明問題 1 中的 (2) 和 (3) 是不等價的。
我沒有找到直接翻譯效用函式的非正式定義的數學公式，即從額外的商品單位中獲得的額外滿足感。疑點由此而來。
我將參考具有比例的完美替代品 $ 1:n $ 經過 $ U_{PS,n} $ .
- $ \text{MU}_X(1) = \text{MU}_Y(n) $ ,
$ U_{PS,n} $ 具有此屬性，但其他偏好也可以，例如，準線性偏好 $$ U(x,y) = \ln x + y, $$ 因此這是不等價的。
- 或者 $ \text{MU}_X(t) = n \cdot \text{MU}_Y(t) $ 為了 $ t \in X \cap Y $ ?
$ U_{PS,n} $ 有這個性質是因為我們知道無差異曲線有斜率（次 $ -1 $ )
$$ \frac{\text{MU}_X(x,y)}{\text{MU}_Y(x,y)} = n $$
對於每個 $ (x,y) $ . 但是還有其他滿足 2. 的偏好，例如，
$$ U(x,y) = nx^2 + y^2, $$
因此這是不等價的。
- 或者 $ \text{MU}_X(t) = \text{MU}_Y(nt) $ 為了 $ (t,nt) \in X \times Y $ ?
$ U_{PS,n} $ 具有此屬性，但其他偏好也可以，例如 Cobb-Douglas 偏好 $$ U(x,y) = \ln x + n\ln y, $$ 因此不等價。
筆記：
- 可以通過要求修改 $ \text{MU}_X(x,y) = n \cdot \text{MU}_Y(x,y) $ 對全部 $ (x,y) \in \mathbb{R}^2 $ . 這將覆蓋整個空間，而不僅僅是 45 度線 $ (t,t) $ 做過。