收入和替代效應的數學
我最近一直在學習效用和無差異曲線的概念。我在理解兩種商品對消費的影響時遇到了一些問題 $ X $ 和 $ Y $ 的價格變化 $ X $ . 我理解替代效應通常意味著什麼。它指的是商品的替代品 $ Y $ 為了好 $ X $ 現在變得更貴了。在圖形上，它表示為從點沿無差異曲線的移動 $ e $ 指向 $ e^{’} $ .
圖中給出的場景如下： 收入 $ M $ = $ {$100} $ 而原價在 $ p_x $ = $ {$10} $ 和 $ p_y $ = $ {$10} $ 圖中看到的三個向下傾斜的線就是所謂的“預算約束”。與點相切的原始預算約束線 $ e $ 有方程 $ Y = \frac{M}{p_y} - (\frac{p_x}{p_y})X $ . 但是，我不確定其他兩條預算約束線是如何得出的。這裡的效果是價格翻倍 $ X $ 從 $ {$10} $ 到 $ {$20} $ . 因此，我認為直接的影響是預算約束線的梯度從 $ -1 $ 到 $ -2 $ 但這不是直接觀察到的。事實上，預算約束線的垂直截距也有變化。
有人能幫我解釋一下為什麼替代效應會導致消費嗎 $ e^{’} $ 以及為什麼收入效應會導致消費 $ e^{*} $ ?
該範例取自 Michael C. Lovell 的《微積分經濟學》一書（第 4 章，第 152 頁）。
根據定義，（希克斯）替代效應是由相對價格的變化引起的 X 的消費變化，保持效用不變。因此，原始預算線“沿著”其無差異曲線“滾動”，直到它與價格變化後的實際預算約束具有相同的斜率（相同的相對價格）。這決定了 $ e’ $ . 你可以想到切線 $ e’ $ 作為一個假設的預算約束，補償您因價格上漲而導致的效用損失 $ X $ 通過增加收入，直到你買得起與原始捆綁包具有相同效用的捆綁包 $ e $ . 總的來說，變化從 $ e $ 到 $ e^* $ 然後被分離成一個變化 $ e $ 到 $ e’ $ , （沿著無差異曲線滾動預算線：相對價格變化，保持效用不變 = 替代效應）和 $ e’ $ 到 $ e^* $ （預算線平行移動：收入變化，保持相對價格不變=收入效應）。