極大阿萊悖論
Allais 悖論，是一個如下設置的實驗，您可以在賭博之間自由選擇 $ A $ 和 $ B $ :
（如果您願意，維基百科上的表格更具可讀性）
實驗一
賭博1A
100 萬美元，100% 的機會
賭博 1B
100 萬美元，89% 的機會
$ 0, 1% 的機會
500萬美元，10% 的機會
實驗二
賭博2A
0 美元，89% 的機會
100 萬美元，11% 的機會
賭博2B
$ 0, 90% 的機會
500萬美元，10% 的機會
當一個人同時選擇賭博 1A 和賭博 2B 時，就會出現悖論。
這個悖論被描述為馮諾依曼-摩根斯坦效用理論與其作為“理性”決策理論的地位不一致的證據或證據。特別是它旨在表明該理論的獨立公理的不足之處。
然而，雖然我發現雖然**{Gamble 1A, Gamble 2B}是可接受的甚至是理想的選擇集（這在邏輯上與理論不一致），但這一觀察似乎不足以表明該理論是荒謬的——似乎可以公平地爭辯說，如果一個人拒絕接受 1% 的機會一無所獲，那麼一個人會希望贏得任何東西（而不是一無所獲）的機會增加 10%，這是實驗 2 中的正確選擇。換句話說，兩種選擇{ Gamble 1A, Gamble 1B}和{Gamble 2A, Gamble 2B}**看起來完全合乎邏輯。事實上，如果所有選擇的效用大致相同，那麼不一致就會消失（這對我來說似乎完全合理）。
是否有另一組參數，或者完全是另一個例子，更令人信服地表明了獨立公理的荒謬性，或者上面的參數是否盡可能強大？
首先必須區分兩種不同的意義，其中阿萊悖論可以被視為 vNM 獨立性的“矛盾”；這些對應於可以對決策理論中的任何模型進行的兩種不同解釋。（von Neumann-Morgenstern (vNM) 效用理論就是這樣一個模型。）根據描述性解釋，決策理論中的模型應該提供對真實的、實際的人類如何實際做出決策的描述。根據規範解釋，該模型應該告訴我們“理想的理性主體”應該如何做出決策。換句話說，描述性如果您試圖建構保險市場或金融市場或人們做出風險決定的其他社會現象的預測模型，解釋對您很重要；如果您自己正在做出有風險的決定，或者您正在嘗試向正在做出此類決定的人提供建議，那麼規範性解釋對您很重要。
Allais Paradox 無疑證偽了 vNM 模型的描述性解釋。這僅僅意味著，作為經驗事實，大多數人（顯然包括許多經濟學家）將選擇1A和2B，這不能解釋為最大化任何可能的 vNM 效用函式的期望值。Allais Paradox 是否證偽了對 vNM 模型的規範解釋是一個更加微妙和有爭議的問題。基本上，這取決於您是否認為 { 1A , 2B } 真的是“正確”的答案。有些人強烈認為{ 1A , 2B }是正確的；對他們來說，這證明 vNM 是不是風險下決策的正確規範模型。其他人最初被{ 1A , 2B } 所誘惑，但一旦他們認識到它與 vNM 不一致，他們就願意“咬緊牙關”並拒絕自己的直覺而支持該理論；他們的最終立場是 vNM 的規範含義是違反直覺的，但卻是正確的。（一個理論具有“違反直覺”的含義這一事實並沒有說明它是錯誤的；現代物理學充滿了這樣的理論。確實，甚至有一些數學定理是“違反直覺的”，但顯然它們是正確的，因為邏輯必然性.)
在您的文章中，您寫道：
事實上，如果所有選擇的效用大致相同，那麼不一致就會消失（這對我來說似乎完全合理）。
我認為“大約相同的效用”不夠好——只要代理具有任何非平凡的 vNM 效用函式，選擇模式 { 1A , 2B } 是不可能的。也許您的意思是，如果代理的 vNM 效用函式很小（即始終為零），則選擇模式 { 1A , 2B }可以與 vNM 理論相協調；在這種情況下，代理對所有可能的彩票都無動於衷。作為一個純粹的數學點，這是正確的。但不符合人們的喜好；大多數人對1A比1B有嚴格的偏好，並且嚴格偏好2B超過2A。所以我們不能通過假設微不足道的效用函式來“解釋”這個悖論。
您的文章以問題結尾：
是否有另一組參數，或者完全是另一個例子，更令人信服地表明了獨立公理的荒謬性，或者上面的參數是否盡可能強大？
也許您會對埃爾斯伯格悖論感興趣。（我不想在這裡包含完整的描述，因為有一篇關於它的非常好的維基百科文章。）埃爾斯伯格悖論與阿萊悖論的不同之處在於某些事件的機率未指定。決策者必須對這些事件建立自己的“主觀機率信念”。但有趣的事實是，沒有一組“主觀機率信念”，可以解釋大多數人在埃爾斯伯格悖論中做出的選擇模式。因此，它肯定會歪曲預期效用（EU）最大化作為人類決策模型的“描述性”有效性。更重要的是，它對歐盟最大化的“規範”有效性提出了強烈挑戰；甚至許多在阿萊斯悖論中“咬緊牙關”的經濟理論家都願意承認，在埃爾斯伯格悖論中，與歐盟最大化不一致的選擇模式比與歐盟最大化一致的選擇模式更具說服力。
然而，我應該承認，埃爾斯伯格悖論被恰當地理解為在“不確定性”（先驗機率未知）設置中對歐盟最大化的挑戰，而阿萊斯悖論已經是對歐盟最大化的挑戰，即使在“風險”的設置（所有機率都是已知的）。在風險環境中接受 vNM 公理（因此，在阿萊悖論中“咬緊牙關”），而在不確定環境中拒絕 EU 最大化（即拒絕 Savage 定理）是完全一致的立場。
對 vNM 獨立性的另一個完全不同的規範挑戰出現在社會選擇環境中。假設您有一個不可分割的資源（例如硬糖），您必須將其分配給兩個索賠人之一（例如兩個孩子，Alice 和 Bob）。假設，先驗, 兩個宣稱者對資源有同等的宣稱（他們同樣值得，同樣渴望，等等）。該資源是不可分割的，因此您不能在兩個索賠人之間“分割”它。問題：您是否應該通過某種隨機機制（例如通過擲硬幣）分配資源？或者您應該通過某種確定性機制來分配它（例如，將其分配給年齡較大的孩子，或者按字母順序排列名字的孩子，或者在做出決定時站在更左邊的孩子）？大多數人都有一種強烈的直覺，即隨機機制比確定性機制更“公平”。所以他們更喜歡隨機化。但與此同時，他們對將資源提供給 Alice 和將其提供給 Bob 無動於衷（回想一下：Alice 和 Bob 同樣值得擁有該資源）。因此，如果A是“給 Alice”的結果，B是“給 Bob”的結果，那麼我們就有這樣一種情況，決策者對A和B無動於衷，但嚴格來說更喜歡彩票（1/2 A， 1/2 B ) 到A或B。顯然，這種規范立場不能用 vNM 理論來解釋。這有時被稱為鑽石悖論，因為它最初是在彼得戴蒙德 1967 年的一篇文章中指出的。