給定任意數量的商品以及必須購買 X 件商品的條件，最大化效用
給定一些預算限制、任意數量的不同商品（具有不同的效用和價格）以及必須購買 X 件商品的附加條件，如何最大化效用？
我想這必須通過算法完成，但我不知道如何。
效用最大化問題是
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2, \ldots, x_n} && u(x_1, x_2, \ldots, x_n) \ \text{s.t.} && \sum_{i=1}^n p_ix_i \leq M \ && \sum_{i=1}^n x_i = X \ && x_i\in\mathbb{Z}+ \ \ \forall i\in{1,2,\ldots, n} \end{eqnarray*} $$ 如果我們忽略預算約束，等式 $ \sum\limits{i=1}^n x_i = X $ 擁有 $ {X+n-1\choose n-1} $ 解決方案。列出它們，按效用從高到低對它們進行排序，然後確定排序列表中也滿足預算約束的最高者。
如果 $ u $ 是嚴格遞增的、可微的和準凹的 $ \mathbb{R}+^n $ ，那麼可以通過忽略 $ \sum{i=1}^n x_i = X $ 約束，然後檢查積分解 $ \sum_{i=1}^n x_i = X $ 圍繞效用最大化問題的解決方案，並從中選擇最佳解決方案以獲得最終解決方案。
你的問題是
$$ \max U(z_1,…,z_n) $$ $$ s.t. \sum p_iz_i \leq I $$ 和
$$ s.t. \sum z_i = X, ;;; z_i\in N $$ 所以你有一個額外的線性約束，而且，如評論中所述， $ z_i\in N $ 約束使它成為一個優化問題，其中決策變數是離散的（特別是整數），這意味著，從形式上講，你不會有導數。
在實踐中，許多離散優化問題都是通過“假裝”我們可以計算導數來攻擊的，（因此形成具有兩個約束的拉格朗日，獲得Karush-Kuhn-Tucker條件等），以這種方式獲得最大化向量，然後檢查當我們向上或向下舍入它的元素以使它們成為整數時會發生什麼。
您還需要檢查這些舍入沒有違反預算約束，並且只允許那些不違反的組合。在這裡，作為不平等的預算約束很重要，因為允許的最大化向量 $ z_i $ 很可能不會完全用盡預算。
有關整數程式的一些介紹性資訊，請參見此處。