價格-消費曲線
假設一個消費者的收入是 $ b $ 有一個效用函式 $ U(x,y) = 2xy+y^2 $ 與價格 $ x $ 存在 $ p_x $ 和價格 $ y $ 存在 $ p_y $ .
畫出價格-消費曲線，假設 $ y $ 是劣質商品（保持價格 $ x $ 持續的）。
如果我們設置拉格朗日$$ L = 2xy+y^2 + \lambda \cdot (b - p_xx-p_yy) $$
並解決最大化問題，我們最終會得到
$$ x(p_x,p_y,b) = \left( \frac{p_y-p_x}{2p_xp_y - p_x^2} \right) \cdot b, ,,,, y(p_x,p_y,b) = \left( \frac{p_x}{2p_xp_y - p_x^2} \right) \cdot b $$
如果 $ y $ 是劣勢，那麼我們必須有（考慮到收入和價格嚴格為正）
$$ \frac{\partial y(p_x,p_y,b)}{\partial b} < 0 \implies \left( \frac{p_x}{2p_xp_y - p_x^2} \right) < 0 \Leftrightarrow 2p_xp_y - p_x^2 < 0 $$
但是，為了消耗的量 $ y $ 要成為非負數，我們必須有
$$ \left( \frac{p_x}{2p_xp_y - p_x^2} \right) \cdot b \geq 0 \Leftrightarrow 2p_xp_y - p_x^2 \geq 0 $$
因此，我們可以得出結論，如果需求 $ y $ 是在嚴格正的價格和收入下是非負的，那麼 $ y $ 不能是次品。
但是，如果我們尊重由非否定性給出的條件 $ y $ ，我們仍然可以繪製價格-消費曲線。取以下幾對價格
$$ (p_x,p_y) = { (1,1),(1,3),(1,5) } $$
並讓 $ b = 48 $ ， 我們會有：
$$ \begin{cases} x(1,1,48) = 0, y(1,1,48) = 48 \ x(1,3,48) = 9.60, y(1,3,48) = 9.60 \ x(1,5,48) \approx 21.34, y(1,5,48) \approx 5.34 \end{cases} $$
在圖表上繪製這些值，我們有：
我的回答正確嗎？
謝謝！
確實，給定效用函式 $ y $ -good 是一種正常的商品，所以這個問題很奇怪。忽略這一點，您的計算是正確的，但您可以簡化為 $ y(p_x,p_y,b)=\frac{b}{2p_y-p_x} $ .
您的曲線包含錯誤，因為 $ x(1,3,48)=19.2 $ . 確實通過將您的表達式替換為 $ x $ 和 $ y $ 你可以證明 $ 2x+y=\frac{b}{p_x} $ 只要 $ p_y\ge p_x $ ，所以價格-消費曲線是分段線性的。