效用
證明效用不增加價格
以下是間接效用函式不增加價格的證明，但我無法理解最後一步。他們如何得出結論 $ v(p_1, y) \ge $ 從前面的推理？
考慮 $ p_0\ge p_1 $ 然後讓 $ x_0 $ 解決效用最大化問題 $ p = p_0 $ . 因為 $ x_0\ge 0 $ , $ (p_0 − p_1) · x_0 ≥ 0 $ . 因此， $ p_1·x_0 ≤ p_0·x_0 ≤ y $ ， 以便 $ x_0 $ 對於效用最大化問題是可行的，當 $ p = p_1 $ . 我們得出結論 $ v(p_1, y) ≥ u(x_0) = v(p_0, y) $ .
接下來 $ v(p_1,y) $ 在給定價格的情況下，可以從可負擔的捆綁包中獲得最高的效用 $ p_1 $ 和收入 $ y $ . 讓 $ x_1 $ 成為這樣一個效用最大化的捆綁包。然後 $ p_1\cdot x_1\le y $ 和 $ u(x_1)\ge u(x) $ 對全部 $ x $ 這樣 $ p_1\cdot x\le y $ . 尤其， $ u(x_1)\ge u(x_0) $ 自從 $ p_1\cdot x_0\le y $ （這就是您的論點所表明的。）因此， $$ v(p_1,y)=u(x_1)\geq u(x_0)=v(p_0,y). $$ 直覺地說，如果價格較低，人們可以從一組更豐富的選項中購買，並且通過更多選項，人們總是可以獲得至少同樣高的效用。