證明效用函式的擬凹性
你如何從定義（沒有黑森州）證明 $ U(x_1,x_2)=x_1^2 x_2 $ 是準凹的嗎？
拿 $ (1,1) $ 和 $ (-1,1) $ : 我們有 $ U(1,1)=U(-1,1)=1 $ . 然而， $ U(\frac12(1,1) + \frac12(-1,1)) = U(0,1) - 0 < 1 = \min{U(1,1),U(-1,1)} $ . 因此，函式，至少在全域範圍內定義 $ \mathbb R^2 $ 不是準凹的**。**
只是為了建立@201p 答案：
你可能想證明效用函式 $ u: \mathbb{R^2_{++}} \to \mathbb{R} $ 給出： $ u(x_1,x_2) = x^2_1 x_2 $ 是準凹的。正如@201p 指出的那樣 - 允許在全域範圍內定義函式 $ \mathbb{R^2} $ 給你帶來麻煩。
要了解其背後的直覺，讓我們從定義開始。功能 $ u $ 在凸集上定義的許多變數 $ S $ 如果每個上層函式集都是擬凹的 $ u $ 是凸的。
繪製上述效用函式的水平集，使其可以在全域範圍內定義 $ \mathbb{R^2} $ :
陰影區域是上層集（在某種程度的效用）。您可以清楚地看到它不是凸的，因此以這種方式定義的效用函式不是擬凹的。
但是，如果您允許效用函式 $ u: \mathbb{R^2_{++}} \to \mathbb{R} $ 給出： $ u(x_1,x_2) = x^2_1 x_2 $ . 水平集僅包含右側的部分，顯然是凸的。
讓 $ u: \mathbb{R^2_{++}} \to \mathbb{R} $ 給出： $ u(x_1,x_2) = x^2_1 x_2 $ .
另一種思考方式可能是：
**主張。**功能 $ f $ 在凸集上定義的許多變數 $ S $ 是準凹的當且僅當對於所有 $ x \in S $ 和 $ x’ \in S $ 這樣 $ f(x) ≥ f(x’) $ 我們有 $ f((1−λ)x + λx’) ≥ f(x’) $ 對全部 $ λ ∈ [0, 1] $ .
但是這一切實際上意味著一個函式是準凹的當且僅當連接位於兩條水平曲線上的點的線段不低於對應於函式較低值的水平曲線。更高的水平曲線代表更高的效用。讓點 $ A $ 代表更高的效用和 $ B $ 效用較低。如果段加入 $ A $ 和 $ B $ 位於或高於對應於效用函式較小值的無差異曲線（關於點 $ B $ )，然後函式 $ u $ 許多變數是準凹的。
有關更多有趣的範例，您應該查看：https ://mjo.osborne.economics.utoronto.ca/index.php/tutorial/index/1/qcc/t
最後，Cobb-Douglas 函式 $ f: \mathbb{R^2_{++}} \to \mathbb{R} $ 給出： $ u(x_1,x_2) = x^a_1 x^b_2 $ 為正 $ a,b>0 $ 是：
- 嚴格凹如果 $ a + b < 1 $
- 凹如果 $ a + b = 1 $
- 既不凹也不凸如果 $ a + b > 1 $
- 準凹坑所有人 $ a,b > 0 $
對於證明，你可以看看這個！
