使用約束優化求解帕累託有效效用可能性邊界
經濟是一種一品二優的個體禀賦經濟，其中個體 $ i’s $ 偏好由 $ 𝑈_𝑖(𝑥_𝑖)=𝑥_𝑖 $ ，對於 𝑖∈1,2，可用 x 數量的可行性約束為 $ 𝑥_1+𝑥_2=ω $ .
我們需要證明這個經濟體的效用可能性邊界方程是 $ 𝑈_2=ω−𝑈_1 $
設置拉格朗日約束優化函式。
最大限度 $ U_1(x_1)= x_1 $ 受制於：
$$ U_2(x_2) = x_2 $$ $$ x_1 + x_2 = w $$
$$ L = x_1 + \lambda x_2 + \mu (w - x_1 - x_2) $$ $ \lambda $ 顯示瞭如何微小的變化 $ x_2 $ 影響 $ U_1 $ ， 和 $ \mu $ 顯示經濟中可用 x 數量的微小變化如何影響 $ U_1 $
所有變數的偏微分：
$$ \frac {\partial L}{\partial x_1} = 1 - \mu = 0 \rightarrow \mu = 1 $$
$$ \frac {\partial L}{\partial x_2} = \lambda - \mu = 0 \rightarrow \mu = \lambda $$
$$ \frac {\partial L}{\partial \lambda} = x_2 = 0 $$ $$ \frac {\partial L}{\partial \mu} = w - x_1 - x_2 = 0 $$
$ x_0 = 0 $ ，所以找到的帕累託有效點涉及到個人 1 接收所有 x 的分配。
$ \mu = \lambda $ ，因此個人 1 受到更改的同等影響 $ x_2 $ 以及經濟中有多少 x 可用。
我不確定如何得出結論，證明這一點 $ 𝑈_2=ω−𝑈_1 $ ，或者我什至在正確的軌道上。有人可以建議嗎？
也歡迎任何關於我使用 LaTex 的回饋，非常新的使用它。
你有的第一個約束， $ U_2(x_2)=x_2 $ , 並不是真正的約束。
由於 UPF 上的點是帕累托最優的，所以你應該有 $ U_2(x_2)\ge \bar u $ 或者 $ x_2\ge \bar u $ 作為一個約束，其中 $ \bar u $ 是 UPF 上個人 2 的某個任意級別的效用。換句話說，假設我們保持個人 2 的效用不低於 $ \bar u $ ，我們怎樣才能最好地利用可用資源使個人 1 的效用盡可能高。