效用
單調效用變換的數學證明並不限制嚴格遞減單調函式的使用。為什麼要禁止他們？
我從直覺上理解，減少單調變換會扭曲選擇和順序。
但在數學上 $ F’(U(x,y)) $ 當我們取 MRS 時，只是在分子和分母中相互抵消，從而為我們提供與舊效用函式相同的 MRS。但是這種抵消也可能隨著單調變換的減少而發生。那為什麼要禁止他們使用呢？
我們關心效用函式的一個最重要的特性是，如果一個捆綁包 $ X $ 比捆綁更受歡迎 $ Y $ 然後 $ U(X)>U(Y) $ （在適當的時候使用弱不平等）。這就是我們定義效用函式的方式。您可以立即看到，如果一個函式具有該屬性，那麼它的任何單調遞增變換也將具有該屬性。但是，如果轉換正在減少，請呼叫它 $ V(X)=f(U(X)) $ 和 $ f’<0 $ ， 然後 $ V(X)<V(Y) $ 即現在 $ X $ 提供較少的效用。因此，我們看到 $ V $ 不能代表相同的偏好。
那麼 MRS 不變性呢？好吧，一旦您了解效用表示不是唯一的，（或直到單調遞增變換唯一），您就可以問在代表相同偏好的所有函式中什麼是恆定的？答案是：他們擁有相同的 MRS。
您可以清楚地看到，如果兩個函式代表相同的偏好，則它們必須具有相同的 MRS，但這還不夠。正如您所指出的，遞減變換也具有相同的 MRS。但是請注意，在考慮單調遞減變換時，MRS 的解釋略有變化。
測量的序數水平（其中序數效用只是一個例子）通常根據它們關於單調變換的屬性來定義。它們出現在投票理論、經濟學、非參數統計和許多其他地方。簡而言之，它們不僅僅用於邊際替代率。因此，雖然使用單調遞減映射可能不會影響某些計算（本質上雙重否定會抵消），但它肯定會影響其他計算。