了解效用函式曲線和邊際替代率
這個例子出現在另一個問題中，但有一些我不明白的地方。也許這個問題更適合代數 stackexchange。
約翰對食物 (f) 和衣服 (c) 的效用函式由下式給出
$$ U(f, c) = (f^\alpha + c^\alpha)^{1/\alpha} $$
這個函式是否滿足遞減MRS？
答案是：不，因為如果 α >1，圖形曲線是凹的。
我完全理解這個理論，但是我如何從給定的函式中實際繪製曲線來測試答案呢？代數/幾何/視覺上給定的函式是什麼 (f,c) = α(f α +c α ) $ \frac{1}{α} $ ? 它實際上是曲線方程嗎？為什麼看起來這麼奇怪？什麼是α？在衡量某人的效用時，像 α 這樣的東西會在哪裡發揮作用？
做這個分析
從分析上講，您只需要檢查函式的二階導數。繼 Sydsaeter 等人 FEMA pp. 466 之後，多變數 $ C^2 $ 兩個變數的函式 $ f(x,y) $ 在以下情況下是凹的：
$$ f^{’’}{11}(x, y) \leq 0, f^{’’}{22}(x, y) \leq 0, \text{ and } f^{’’}{11}(x, y)f^{’’}{22}(x, y) − f^{’’}_{12}(x, y)^2 \geq 0 $$
所以分析上你可以計算上面的。在您的情況下，功能是 $ U(f,c) $ 但除此之外，您只是在應用上述內容。
如果您想知道函式是否到處都是凹的，那麼您必須檢查所有參數和變數限制是否滿足凹度。在這種情況下，假設函式在任何地方都是凹的 $ f>0, c>0 $ . 在經濟學中，我們通常假設變數必須是正數或至少非負數（您不能消耗 -1 單位的麵包）。如果您執行上述操作，您將看到 $ f>0; c>0 $ 該函式到處都是凹的，但請注意，如果您不施加任何限制 $ f $ 和 $ c $ 該函式實際上會變得凸 $ f<0;c<0 $ .
以圖形方式
您只需要繪製函式並查看其形狀。3D 中的凹形看起來像圓頂的圓頂，而凸形看起來像碗（至少我喜歡在 3D 中這樣看待它）。
您可以在下面看到您的函式的繪圖，而不受 Wolfram Alpha 的任何限制。您需要對我選擇的一些特定參數執行此操作 $ \alpha = 0.5 $ 但形狀對於任何人來說都是相似的 $ 0<\alpha<1 $ . 如您所見 $ f>0 $ 和 $ c>0 $ 該函式顯然是凹的，這就是答案中引用的內容（再次在經濟學中，除非另有說明，否則我們通常將變數限制為正數），但您也可以看到，如果您不對 $ f $ 和 $ c $ 函式在 III 象限是凸的。
