效用
無限效用最大化
考慮以下效用函式。
$ U(w) = \max x_{1}^{0.25}x_{2}^{0.25}(x_{3} +1)^{0.5} $ $ s.t. x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, x_{3} \in {0,1} $ 和 $ 1 \times x_{1} +1 \times x_{2} + 1000 \times x_{3} \leq w $ ， 在哪裡 $ w $ 是財富和 $ x_{1} $ , $ x_{2} $ 和 $ x_{3} $ 分別以1 美元、1美元和1000 美元的價格表示三種商品。
我對這個功能的問題是我無法看到優化器在哪裡。如果我試圖解決這個函式的FOC，我只是簡單地得出第一個商品都趨於無窮大的結果，這很明顯，因為消費者會更喜歡。但是，我的方法錯了嗎？當然，消費者會購買更多，但我看不出我將如何嘗試產生優化器。
暗示：
這是約束優化問題。您的目標函式受到的約束是 $ x_1≥0,x_2≥0,x_3∈{0,1} $ 和 $ 1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2+1000 \cdot x_3≤w $ . 因此，這裡的任何商品的消費都無法達到無限， $ x_3 $ 被明確限制在 0 和 1 之間，並且消耗 $ x_1 $ , $ x_2 $ 和 $ x_3 $ 乘以他們的價格不能超過給定個人財富的預算約束，這將是一些有限常數。
解決此問題的方法是設置具有多個約束的拉格朗日函式。一些約束將是不等式，因此您必須在之後檢查 Karush-Kuhn-Tucker 條件。您應該嘗試自己設置和求解拉格朗日函式。