什麼條件意味著凸效用集？
給定一個凸消費集 $ X $ , 和效用函式 $ N $ 代理： $ u_1,\cdots,u_N $ ，在什麼條件下，效用集 $ U={u\in\mathbb{R}^N:\exists x\in X s.t. u_i(x)=u_i\forall i} $ 是凸的？
是否足以讓 $ u_i $ 是凹不減函式？先感謝您！
以下略改編自
馬斯-科萊爾，安德魯。“帕累托最優和均衡：有限維情況。” 均衡理論的進展。施普林格，柏林，海德堡，1985. 25-42。
考慮一個每個人都有消費集的交換經濟 $ \mathbb{R}^l_+ $ ，總禀賦為 $ \omega $ ，並且可以免費處理。通過濫用符號，我們可以使用 $ \leq $ 向量的座標順序和實線上的通常順序。
可行集是 $$ X^={(x_1,\ldots,x_N)\in \mathbb{R}_+^{lN}\mid x_1+\cdots+x_n\leq\omega}. $$ 如果每個代理 $ i $ 具有單調、連續和凹效用函式 $ u_i $ 這樣 $ u_i(0)=0 $ ，則效用可能性集 $$ U=\Big{\big(u_1(x_1),\ldots,u_n(x_N)\big)\mid (x_1,\ldots,x_N)\in X^\Big} $$ 是凸的。對於符號，如果 $ x=(x_1,\ldots,x_N)\in X^* $ ， 我們寫 $ u(x) $ 為了 $ \big(u_1(x_1),\ldots,u_N(x_N)\big) $ .
看到那個 $ U $ 是凸的，請注意首先 $ X^* $ 是凸的並且對於每個分配 $ x\in X^* $ ， 如果 $ 0\leq x’\leq x $ ， 然後 $ x’\in X $ . 現在，讓 $ u,u’\in U $ 和 $ \alpha\in [0,1] $ . 有 $ x,x’\in X^* $ 這樣 $ u(x)=u $ 和 $ u(x’)=u’ $ . 因為所有的效用函式都是凹的，所以我們有 $ u(\alpha x+(1-\alpha)x’)\geq\alpha u+(1-\alpha)u’ $ . 由於每個效用函式都是單調的並且具有 $ 0 $ 在 $ 0 $ , 存在一個向量 $ x’’ $ 令人滿意的 $ 0\leq x’’\leq\alpha x+(1-\alpha)x’ $ 這樣 $ u(x’’)=\alpha u+(1-\alpha)u’ $ 和 $ x’’\in X^* $ .
凹度和不減小是不夠的。考慮 $ X = [0,4] $ . $ u_1(x) = x $ 和 $ u_2(x) = \sqrt{x} $ . 在這種情況下，我們得到 $ U = {(x,\sqrt{x})|x\in [0,4]} $ 這不是一個凸集。
我摔倒 $ u_i $ s 是線性的，我們將得到 $ U $ .