什麼效用函式代表具有時間折扣因子的代理？

考慮一個有固定預算的代理，應該決定如何在今天的消費和明天的消費之間分配它。為簡單起見，假設沒有利息，也沒有借貸，並且兩天的價格相同。在我的研究中，我遇到了兩種建模代理決策問題的方法：

1. 將每個日常消費視為不同的商品，然後使用效用函式對代理的偏好進行建模。例如，如果代理更喜歡今天消費而不是明天消費，但仍然想在明天消費一些東西，那麼效用函式可以是 Cobb-Douglas 效用函式，例如 $ x^{0.8} y^{0.2} $ 在哪裡 $ x, y $ 分別是今天和明天的消費。然後，代理在給定預算約束的情況下最大化他的效用，就像在通常的消費者選擇問題中一樣。
2. 假設代理有一定的折扣係數 $ \delta $ ，它決定了代理今天比明天更喜歡消耗多少。如何使用效用函式對其進行建模？最初我認為相應的效用函式是 $ x + \delta y $ . 但是，最優解（當 $ \delta<1 $ ) 就是今天消耗一切，明天挨餓。這沒有多大意義。

我的問題：什麼效用函式對應於折扣因子 $ \delta $ ? 例如，它可以用 Cobb-Douglas 函式來表示嗎？

也許我誤解了這個問題，因為來自這樣一位成熟的研究人員似乎微不足道。

作為@HerrK。指出，表示跨期貼現的效用函式通常具有以下形式 $$ U\left((x_i)_{i=1}^T\right) = u(x_1) + \delta_1 u(x_2) + \delta_2^2 u(x_3) + \dots $$ 在哪裡 $ \delta_i $ 是折扣因子和 $ x_i $ 是期間的消費 $ i $ . 這在大多數微觀教科書中都有涉及，例如（兩期）在瓦里安的中級微觀經濟學中。

什麼時候 $ u() = \ln() $ ， 功能 $ U\left((x_i)_{i=1}^T\right) $ 是科布-道格拉斯類型。萬一 $ x_i $ 收斂到 $ 0 $ ，效用收斂於 $ -\infty $ ，因此最佳解決方案將在內部。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/48461