效用
效用表示何時可微分？
我們知道，如果我們從一個連接的、可分離的產品空間開始 $ V_1\times,…,\times V_n $ 以及一個完整的、傳遞的、連續的偏好關係 $ \succsim $ 在這個產品空間上，存在著一個連續的！效用表示 $ u:V_1\times,…,\times V_n\rightarrow \mathbb{R} $ . 然而，連續性 $ \neq $ 可區分性。因此，我很好奇在什麼條件下甚至存在可微的效用函式。
我的第一個想法是至少將產品空間限制在 $ \mathbb{R}^n $ ，但可能有反例。例如，如果 $ n=1 $ 和 $ u $ 是 Weierstrass 函式， $ u $ 是連續的，但不可微分。
由於在經濟學中我們經常使用可微效用，我想知道哪些假設是確保可微性所必需的。
開放凸子集上的連續、傳遞、完全、凸和局部非滿足偏好 $ V $ 一些中的 $ \mathbb{R}^l $ 有一個 $ r $ - 沒有臨界點的連續可微效用表示當且僅當空間 $ I={(x,y)\in V\times V\mid x\sim y} $ 是一個 $ C^r $ -歧管。
這個結果本質上就是命題 2.3.9。在 Andreu Mas-Colell 的《一般經濟均衡理論：可微分方法》一書中。實際上，那裡的結果代替了凸性 $ V $ 以及所有無差異曲線都連通的較弱條件表示的偏好關係。
我不知道有任何更基本的方法來解決這個問題。