當全域最優在約束集之外時，需求是什麼？

$ u:\mathbb R^n\to\mathbb R $ 是一個準凹效用函式，所以無差異曲線是凸的。

$ a,b\in\mathbb R^n $ 是兩點。我們的預算集是（一維）部分 $ [a,b] $ 連接 $ a $ 和 $ b $ .

鑑於：$$ x^*=\arg\max_{x\in[a,b]}u(x) $$

讓 $ b’ $ 成為段中的一個點 $ [a,x^] $ . 那是： $ b’=\lambda a+(1-\lambda)x^ $ 對於任何 $ \lambda\in[0,1] $ .

證明：

$$ b’=\arg\max_{x\in[a,b’]}u(x) $$

從圖形上看，這個結果非常簡單，但我不知道如何在數學上證明它。

我認為我們可以開始證明這一點 $ u(\lambda a+(1-\lambda) x^*) $ 單調遞減 $ \lambda $ .

是否有命名理論相關？

1. 認為，鑑於您對效用函式的假設， $ x^* $ 是本質上唯一的（因此也是全域的）最大值。（您需要這個，因為當效用函式的假設放鬆時可能存在局部最大值 - 這將違反您試圖證明的命題）。
2. 現在簡單地使用全域最優的定義：對於任何 $ x\leq x^* $ , $ u(x)\leq u(x^*) $ . 這應該足以給你結果。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/39087