量化金融中的雙曲和橢圓偏微分方程
拋物線偏微分方程（例如熱方程）通過費曼卡茨定理與金融密切相關。
其他類型的偏微分方程是否出現在量化金融中？橢圓 PDE 不包含時間維度（所以也許對於永久期權？）我想不出波動方程（兩個時間導數）或其他雙曲 PDE 的範例？
這些其他類型是否有特殊的數值處理？Crank Nicolson FD 方案似乎很流行，但僅限於拋物線 PDE。
PDE 分類（背景）
線性二階偏微分方程可分為橢圓、拋物線或雙曲線。二維的一般 PDE $ u=u(x,y) $ 看起來像 $$ Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_x+Eu_y+Fu+G=0. $$ PDE 被稱為
- 雙曲如果 $ B^2-AC>0 $ （主要例子：波動方程與 $ a^2\Delta u=u_{tt} $ ),
- 拋物線如果 $ B^2-AC=0 $ （主要範例：熱方程與 $ a\Delta u=u_t $ ),
- 橢圓如果 $ B^2-AC<0 $ （主要例子：拉普拉斯方程與 $ \Delta u=0 $ ).
在哪裡 $ \Delta $ 表示拉普拉斯運算元。
這個定義類似於二次形式。當然，係數 $ A,B,C $ 可以依賴 $ x $ 和 $ y $ 並且 PDE 可以在其域上具有不同的類型。在多於二維的情況下，我們可以使用係數矩陣的特徵值來定義偏微分方程的類型。
PDE 和期權價值
量化金融中的大多數 PDE 控制期權的價值， $ V=V(t,X_{1,t},…,X_{n,t}) $ （在其延續區域），受（自由）邊界條件的約束。在無套利市場中，這些 PDE 源於定價規則$$ \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\text{d}V]=rV\text{d}t. $$假設底層遵循（多維）Itô 過程，因此從跳躍（產生PIDE）中抽像出來，Itô 的引理指出 $$ \text{d}V = \left(\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\mu_{i,t}\frac{\partial V}{\partial X_{i,t}}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{i,j,t}\frac{\partial^2 V}{\partial X_{i,t}\partial X_{j,t}}\right)\text{d}t+\sum_{i=1}^n \sigma_{i,t}\frac{\partial V}{\partial X_{i,t}}\text{d}W_{i,t}. $$ 因此，期權價值通常滿足 PDE $$ \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\mu_{i,t}\frac{\partial V}{\partial X_{i,t}}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{i,j,t}\frac{\partial^2 V}{\partial X_{i,t}\partial X_{j,t}}-rV=0. \tag{$\star$} \end{align*} $$
在一個完整的市場中，這個 PDE 可以通過動態套期保值推導出來。Feynman-Kac 定理通過將PDE 與期望運算元聯繫起來提供了很多經濟直覺。
拋物線偏微分方程
在布萊克和斯科爾斯模型中，我們有一個風險源， $ n=1 $ 和 $ \mu_t=rS_t $ 和 $ \sigma_t=\sigma S_t $ . 因此，偏微分方程 ( $ \star $ ) 塌陷到標準 $$ \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t}+rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV=0. \end{align*} $$
這個偏微分方程是拋物線的，因為沒有 $ V_{tS} $ 期限和沒有 $ V_{tt} $ 學期。所以分類方案是$$ B^2-A\cdot C=0^2-\frac{1}{2}\sigma^2S^2\cdot 0=0. $$事實上，眾所周知如何將此 PDE 轉換為熱方程。事實上，這就是 Black 和 Scholes 在其原始 JPE 論文中解決 PDE 的方法。
在 Heston 的隨機波動率模型中，我們有兩個風險來源（ $ n=2 $ ) 因此，偏微分方程 ( $ \star $ ) 折疊為 $$ \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t}+rS\frac{\partial V}{\partial S}+\kappa(\theta-v)\frac{\partial V}{\partial v}+\frac{1}{2} vS^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+ \rho\xi v S\frac{\partial^2 V}{\partial S\partial v}+\frac{1}{2} \xi^2v\frac{\partial^2 V}{\partial v^2}-rV=0. \end{align*} $$ 顯然，選擇 $ \kappa=\xi=0 $ 從 Black 和 Scholes 那裡恢復模型。這個 PDE 又是拋物線的。但是，PDE 不能簡化為 $ \Delta u=u_t $ 因為互相關項不能通過替換來消除（“退化 PDE”）。
其他 PDE，例如Fokker-Planck PDE，也是拋物線的。與HJB 框架相關的 PDE也趨於拋物線。
橢圓偏微分方程
上述偏微分方程的“問題”是存在一階時間導數，但沒有跨時空導數，也沒有更高的時間導數。因此，偏微分方程總是類似於拋物線偏微分方程。
人為地擺弄高階時間導數是相當困難的。然而，完全放棄時間導數很容易。如果期權價值 $ V=V(X_{1,t},…,X_{n,t}) $ 與時間無關，則前兩個 PDE 坍縮為 $$ \begin{align*} r S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV=0, \end{align*} $$ $$ \begin{align*} rS\frac{\partial V}{\partial S}+\kappa(\theta-v)\frac{\partial V}{\partial v}+\frac{1}{2} vS^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+ \rho\xi v S\frac{\partial^2 V}{\partial S\partial v}+\frac{1}{2} \xi^2v\frac{\partial^2 V}{\partial v^2}-rV=0. \end{align*} $$ 第一個只是 ODE（準確地說，是Cauchy-Euler ODE），第二個 PDE 是橢圓PDE（它仍然不能簡化為 $ \Delta u=0 $ ).
對於獨立於時間的期權，它們需要是永久的（即永不過期）。這些期權顯然沒有交易，但它們總是出現在實物期權應用程序和資本預算決策中。早期運動（自由）邊界代表了求解這些橢圓偏微分方程的困難。另一個實物期權範例是永久交換期權，其中兩種資產都遵循幾何布朗運動（回想一下Margrabe 公式）。對應的 PDE 為 $$ \begin{align} rS\frac{\partial V}{\partial S} + rK \frac{\partial V}{\partial K} + \frac{1}{2}\sigma_S^2S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \rho\sigma_S\sigma_K SK \frac{\partial^2 V}{\partial S\partial K} + \frac{1}{2}\sigma_K^2K^2 \frac{\partial^2 V}{\partial K^2} - rV=0. \end{align} $$ 由於缺乏時間導數，橢圓偏微分方程傾向於描述“平衡”中的狀態（不是這個詞的經濟含義）。
雙曲偏微分方程
由於上述原因，很難想到波動方程在金融中的許多應用。高階時間導數通常不會出現。我知道的唯一例外包括利率模型，其中目前時間和到期時間是狀態變數。Santa Clara 和 Sornette (1998, RFS)研究二階隨機PDE，其中有一個傳播項。在物理上，它類似於一根振動的彈性弦（論文的標題包括“隨機弦衝擊”）。
概括
PDE 與條件預期相關聯，因此與量化金融密切相關。由於期權價值取決於到期時間，它們通常包括時間導數和空間導數（取決於風險來源）。因此，大多數 PDE 是拋物線的。永續期權出現在實物期權的例子中，並且往往是橢圓的。雙曲線 PDE 很少見，但會出現在利率應用中。
關於數值方法和有限差分，您可以將它們用於任何這些類型。對於不同的類型，您往往有不同的邊界條件，因此會有不同的實現。例如，對於拋物線 PDE，您可以逐步返回時間（突出顯示有限差分和多項樹之間的關係），而您可以通過求解一個線性方程組（例如 LUP 分解）一次性找到橢圓 PDE 的所有網格點）。由於最佳運動，迭代方案可能是必要的。