改進有限差分方案
我了解如何推導和實施標準有限差分方案。**我想知道如何改進這樣一個標準的 FD 方案？**例如，在求解標準 Black-Scholes 方程時，通常會建議以下步驟
- 轉型 $ x_t=\ln(S_t) $ 將 Black-Scholes PDE 變成具有常數係數的 PDE
- 選擇步長 $ \Delta S $ 和 $ \Delta t $ 這樣 $ \sqrt{\Delta t} \sim\Delta S $
- 中心差 ( $ O(\Delta S^2) $ ) 對於空間導數比後向/前向有限差分 ( $ O(\Delta S) $ )
您能提供哪些進一步的提示？您知道哪些其他改進有助於提高準確性、速度和穩定性？
您是否對時間導數使用後向/前向/中心差異？你推薦顯式、隱式、曲柄尼科爾森嗎？您如何快速驗證您的最終解決方案是否確實正確並解決了 PDE？
不要求解 Black-Scholes PDE，求解熱方程
數學金融的主要成果之一是表明 Black-Scholes PDE 可以映射到熱方程。與其他通用 PDE 求解器相比，熱方程在數學上更易於處理、分析，並且在計算上具有更好的求解器。不要求解 Black-Scholes PDE，求解熱方程！如果這最終以稍微尷尬的邊界條件結束，那麼收益仍然可能遠遠超過損失。
有很多東西要學
您能提供哪些進一步的提示？您知道哪些其他改進有助於提高準確性、速度和穩定性？
要列出的東西太多了，在創建世界上最好的求解器和編寫程序所花費的時間之間需要權衡取捨。如果您花費 6 個月的時間來建構針對一種類型的邊界條件/問題優化的生產級求解器，該求解器在 1 秒內執行，而在一天內完成的簡單實現可能在 1 小時或一夜之間執行，並且兩者都只使用一次，那麼後者更為有利。
學習如何使這些求解器更好、更穩定、更準確、更快等是非常複雜的，並且需要學位來學習/理解所有技巧（有幾個還在開發中）。一些不錯的參考資料包括：
標準教科書是：
一個簡單的技巧
我學到/看到的最好的技巧之一是你已經知道你應該選擇一個小的時間步長（或空間離散化），這樣 $ \mathcal{O}(\Delta t) \sim \mathcal{O}(\Delta x^2) $ , 如果我記得這使得該方案具有準確性 $ \mathcal{O}(\Delta x^2) $ . 但是，我認為如果您選擇前向時間歐拉和中心空間差異方案 $ \Delta t = \frac{\Delta x^2}{4} $ 然後空間和時間誤差完全取消到領先的順序，因此你得到一個準確性 $ \mathcal{O}(\Delta x^4) $ . 但是，我沒有帶教科書，所以我必須仔細檢查我引用的係數和準確度。儘管如此，對於這個比率的巧妙選擇，您無需額外成本即可獲得更準確的方案，我認為這是一個非常有用的技巧。