所有鞅度量均等地為可達到的要求定價

背景資料：

這個問題來自金融數學講座：離散資產定價。

定理 3.2 資產定價第一基本定理——假設 $ \nu $ 是任何措施，使得 $ S/S^{0} $ 是一個 $ \nu $ -鞅。對於可實現的索賠 $ X $ 使用複制策略 $ \phi $ 和 $ 0\leq t\leq T $ ， 我們有 $$ V_t(\phi) = E_{\nu}\left(X\frac{S_t^{0}}{S_T^{0}}|\mathcal{F}_t\right) $$

問題：

證明：

1. 所有鞅度量均等地為可實現的要求定價，並且
2. 如果存在鞅測度，則給定聲明的所有複製策略在任何時候都具有相同的值。

即使從哪裡開始，我也有點困惑，一些指導或建議可能會有所幫助。

對於問題 1，讓 $ \phi $ 是一種複制策略，即 $ V_T(\phi) = X $ . 那麼對於任意兩個鞅測度 $ u $ 和 $ v $ ，從資產定價第一基本定理，

$$ \begin{align*} E_u\left(X\frac{S_t^0}{S_T^0}\mid \mathcal{F}_t\right) = V_t(\phi), \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} E_v\left(X\frac{S_t^0}{S_T^0}\mid \mathcal{F}_t\right) = V_t(\phi). \end{align*} $$ 也就是說，所有鞅度量均等地為可實現的要求定價。 對於問題 2，讓 $ \mu $ 成為鞅測度。此外，讓 $ \phi $ 和 $ \psi $ 是兩種複制策略，即 $ V_T(\phi)= V_T(\psi)=X $ . 那麼，任何時候 $ t $ ,

$$ \begin{align*} V_t(\phi) &= E_{\mu}\left(V_T(\phi)\frac{S_t^0}{S_T^0}\mid \mathcal{F}t\right)\ &= E{\mu}\left(X\frac{S_t^0}{S_T^0}\mid \mathcal{F}t\right)\ &= E{\mu}\left(V_T(\psi)\frac{S_t^0}{S_T^0}\mid \mathcal{F}_t\right)\ &= V_t(\psi). \end{align*} $$ 也就是說，給定聲明的所有複製策略始終具有相同的值。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/31441