馬爾可夫或然債權的凸性
背景資料：
我相信我們可以在這裡使用 Jensen 不等式
證明如果支付函式 $ V(S_T) $ 是一個凸函式 $ S_T $ ，然後是帶有收益的馬爾可夫歐洲或有債權 $ V(S_T) $ 有非負 $ \Gamma $ ， IE $ V(\tau,S) $ 是凸的 $ S $ 對全部 $ \tau $ .
嘗試證明：假設我們有一個函式 $ V(S_T) $ 那是凸的 $ S_T $ , 那麼如果 $ p_1,\ldots,p_n $ 是總和為 1 的正數，則
$$ V\left(\sum_{i=1}^{T}p_i S_i\right) \leq \sum_{i=1}^{T}p_i V(S_i) $$現在，讓 $ p_i = 1/n $ ， 然後 $ \ln S $ 給，$$ \ln\left(\frac{1}{T}\sum_{i=1}^{T} S_i\right) \geq \frac{1}{T}\sum_{i=1}^{T}\ln S_i $$通過取冪，我們有算術平均-幾何平均不等式，$$ \frac{S_1 + S_2 +\ldots + S_T}{T} \geq \sqrt[T]{S_1 S_2,\ldots S_T} $$這是非負的，因此結果如下。
形成一個光滑的凸函式，二階導數總是非負的。特別是，對於任何 $ \varepsilon >0 $ ,
$$ \begin{align*} V(S) &= V\Big(\frac{1}{2}(S+\varepsilon ) + \frac{1}{2}(S-\varepsilon )\Big)\ &\le \frac{1}{2}\Big(V(S+\varepsilon )+ V(S-\varepsilon) \Big). \end{align*} $$ 那是， $$ V(S+\varepsilon )+ V(S-\varepsilon) - 2 V(S) \ge 0 $$ 然後 $$ \begin{align*} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{V(S+\varepsilon )+ V(S-\varepsilon) - 2 V(S)}{\varepsilon^2} \ge 0. \end{align*} $$