heston pde 在聚集中的推導
在 Gather（波動率表面，第 2 章）之後，我們假設以下過程：
$$ dS_t = S_t(\mu_t dt+\sqrt{\nu_t}dZ^1_t) $$ $$ d\nu_t= -\lambda(\nu_t-\bar{\nu})dt+\eta\sqrt{\nu_t}dZ^2_t $$ 在哪裡 $ Z^1,Z^2 $ 是兩個布朗運動使得 $ d\langle Z^1,Z^2\rangle_t= \rho dt $ . 使用隨機波動率模型的一般估值 pde，我們為這個過程得到以下 pde：
$$ \frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\nu S^2+\rho\eta\nu S \frac{\partial^2 V}{\partial \nu \partial S} + \frac{1}{2}\eta^2\nu\frac{\partial^2 V}{\partial \nu^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S}-rV=\lambda(\nu-\bar{\nu})\frac{V}{\partial \nu} $$ 現在通過介紹 $ F_{t,T} $ 時間 $ T $ 股指前瞻， $ x:=\log{(\frac{F_{t,T}}{K})} $ ， 在哪裡 $ K $ 表示罷工空間， $ \tau:=T-t $ 和 $ C $ 歐式期權價格到期的未來價值（而不是今天的價值， $ V $ ) 上述 pde 應轉換為
$$ -\frac{\partial C}{\partial \tau}+\frac{1}{2}\nu C_{11}-\frac{1}{2}\nu C_1+\frac{1}{2}\eta^2\nu C_{22}+\rho\eta\nu C_{12} - \lambda(\nu-\bar{\nu})=0 $$ 下標在哪裡 $ 1,2 $ 參考分化wrt $ x $ 和 $ \nu $ .
我們有 $ V(S,\nu,t)=C(f(S),\nu,g(t)) $ ， 在哪裡 $ g(t):=\tau=T-t $ . 關於形式 $ f $ 我不確定。使用這個我們得到第一個術語：
$$ \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial C}{\partial \tau} \frac{\tau}{t}=-\frac{\partial C}{\partial \tau} $$ 為了 $ f $ 我們知道 $ f(S)=\log{\frac{F_{t,T}(S)}{K}} $ （我抑制時間subsctript on $ t $ ）。我試過了 $ F_{t,T}=S_t\exp{\int_t^T\mu_sds} $ ， 和 $ \mu_s\equiv 0 $ . 但是我看不出我們如何才能得到這個 PDE $ C $ . 如果有人可以解釋以下兩個，那就太好了：
- 到期的未來價值是什麼意思？
- 怎麼 $ C $ 相關 $ V $ 以功能形式？
- Gatheral 用遠期術語表達一切：即期和看漲的遠期價值。
考慮一項資產 $ A $ . 你需要堅持 $ A $ 有時 $ T $ 但是由於您現在不需要它，因此您現在不想購買它。取而代之的是，您與當時說此話的人簽訂了遠期契約 $ T $ 您將支付金額 $ K $ 並獲得資產作為交換。罷工應該是什麼 $ K $ 交易對雙方都公平嗎？根據定義，這是 $ T $ -遠期價格 $ A $ .
對於沒有股息或便利收益的可交易資產，價格為
$$ F^T_t = S_te^{r(T-t)} $$ 事實上，遠期合約中的賣方可以藉款 $ S_t $ 以無風險利率購買資產，然後以 $ T $ ， 收到 $ K $ ，傳遞資產並償還他所借的+利息 $ S_te^{r(T-t)} $ . 所以他從 0 開始，以 $ K - S_te^{r(T-t)} $ . 因此，由於沒有套利，我們必須有 $ K = S_te^{r(T-t)} $ . （在股息收益率的情況下 $ q $ , 你只需要更換 $ r $ 經過 $ r-q $ ). 一般來說，對於任何 $ t\leq T $ ,
$$ \textrm{present value} = E^{\mathbb{Q}}_t[e^{-\int_t^Tr_s ds}g(S_T)] = P(t,T)E^{\mathbb{Q}_T}_t[g(S_T)] = P(t,T) \times \textrm{forward value} $$ 在哪裡 $ P(t,T) = E^{\mathbb{Q}}_t[e^{-\int_t^Tr_s ds}] $ 是 ZCB 到期的價格 $ T $ . 對於確定性利率，這只是 $ P(t,T) = e^{-r(T-t)} $ . 2) 因為 $ C $ 對應於看漲期權的未折現價格：
$$ V(t,S,\nu) = e^{-r(T-t)}C(T-t,\log(Se^{(r-q)(T-t)}/K),\nu) $$ 遠期推理允許將利率考慮與其他考慮分開，並且通常通過使貼現條款消失來簡化 PDE。