歐洲馬爾可夫期權
背景資訊：考慮一個有償的歐洲或有債權 $ V(S_T) $ ， 在哪裡 $ V: \mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} $ 是一個函式，它根據終端時間的資產價格為收益分配一個值 $ T $ . 這種歐洲或有債權稱為馬爾可夫債權。聲稱是價格 $ V_0 $ 歐洲或有債權 $ V(S_T) $ 在時間 0 由
$$ V_) = \frac{1}{(1+R)^T}\hat{\mathbb{E}}[V(S_T)] $$前提是沒有套利。這裡 $ \hat{\mathbb{E}} $ 是關於（唯一）風險中性機率的期望。作為免費獎勵，我們通過向後遞歸方案建構了一個複制投資組合，並表明在狀態 $ i $ 有時 $ t $ ， 價格 $ V_t^{i} $ 歐式或有債權是標的資產價格的函式 $ S_t(i) $ . 首先註意到到期時或有債權的價格 $ T $ 是平等的 $ V(S_T(i)) $ 如果國家 $ i $ 發生。然後，假設或有債權的價格 $ V_{t+1}^j $ 在時間上是已知的 $ t+1 $ 適用於所有州 $ j = 0,\ldots,t + 1 $ 並且是一個函式 $ V_{t+1} $ 的 $ S_{t+1}(j) $ ， IE $ V_{t+1}(S_{t+1}(j)) $ . 以狀態為條件 $ i $ 有時 $ t $ ，當時的市場狀態 $ t+1 $ 或者是 $ i+1 $ 或者 $ i $ . 因此，我們可以使用單週期二叉樹的結果得出結論：
$$ V_t^i = \frac{1}{1+R}(V_{t+1}^{i+1}\hat{\pi}u + V{t+1}^{i}\hat{\pi}l) = \frac{1}{1+R}\hat{\mathbb{E}}[V{t+1}|S_t = S_t(i)] $$在這裡，我們使用了無套利意味著存在具有條件機率的風險中性機率這一事實 $ \hat{\pi}u = \frac{1+R-l}{u-l} $ 和 $ \hat{\pi}l = \frac{u-1-R}{u-l} $ 給定狀態 $ i $ 有時 $ t $ . 請注意，上面的表達式還表明 $ V_t^j $ 是一個函式 $ S_t(j) $ ,$$ V_t(S);= \frac{1}{1+R}\hat{\mathbb{E}}[V{t+1}|S_t = S] \ \ \ \ \ (1.6) $$及時複製收益 $ t+1 $ , 需要保持$$ \frac{V{t+1}^{i+1} - V_{t+1}^{i}}{S_{t+1}(i+1) - S_{t+1}(i)} = \frac{V_{t+1}(S_t(i)u) - V_{t+1}(S_t(i)l)}{S_t(i)(u-l)} $$ 風險資產單位和$$ \frac{uV_{t+1}^i - lV_{t+1}^{i+1}}{(u-l)(1+R)} = \frac{uV_{t+1}(S_t(i)l) - lV_{t+1}(S_t(i)l)}{(u-l)(1+R)} $$複製投資組合中的無風險債券。換句話說，複製投資組合是（1.1）的自籌資金投資組合，其中 $ w_0 = V_0 $ 和投資組合策略由 $ \Delta_0(S_0),\ldots,\Delta_{T-1}(S_{T-1}) $ $$ \Delta_t(S):= \frac{V_{t+1}(Su) - V_{t+1}(Sl)}{S(u-l)} \ \ \ \ \ \ (1.7) $$由式（1.7）給出的複制投資組合中的風險資產單位數稱為當時或有債權的 Delta $ t $ . 在具有收益的歐洲馬爾可夫期權的複制投資組合中 $ V(S_T) $ ， 讓 $ Y_t := S_T\Delta_t(S_t) $ 是對標的資產的投資金額。然後，使用 (1.6) 和 (1.7) 顯示
$$ Y_t = \frac{1}{1 + R}\hat{\mathbb{E}}[Y_{t+1}|S_t], \ \ \text{for} \ t = 0,\ldots, T-1 $$ 嘗試的解決方案：假設我們有一個具有回報的歐洲馬爾可夫期權的複制投資組合 $ V(S_T) $ ， 讓
$$ Y_t := S_t\Delta_t(S_t) $$ 現在我們知道了$$ \Delta_t(S_t) = \frac{V_{t+1}(S_tu) - V_{t+1}(S_tl)}{S_t(u-l)} $$它代表我們需要複製的風險資產的單位數量。另外，我們需要 $$ \frac{uV_{t+1} - lV_{t+1}}{(u-l)(1+R)} = \frac{uV_{t+1}(S_tl) - lV_{t+1}(S_tl)}{(u-l)(1+R)} $$複製投資組合中的無風險債券也是如此。這兩個數量代表了書中1.6定義的投資回報的複制$$ V_t(S) = \frac{1}{1+R}\hat{\mathbb{E}}[V_{t+1}|S_t = S] $$然後考慮到事實 $ Y_t = S_t\Delta_t $ 然後清楚地$$ Y_t = \frac{1}{1 + R}\hat{\mathbb{E}}[Y_{t+1}|S_t], \ \ \text{for} \ t = 0,\ldots, T-1 $$ 我不確定這在任何方面、形狀或形式上是否正確。非常感謝任何建議。
我們表明
$$ \begin{align*} Y_t^i = \frac{1}{1+R}E\big( Y_{t+1} \mid S_t = S_t(i)\big).\tag{1} \end{align*} $$ 注意 $$ \begin{align*} Y_{t+1} &= S_{t+1} \Delta_{t+1}(S_{t+1})\ &=\frac{V_{t+2}(S_{t+1}u) - V_{t+2}(S_{t+1}l)}{u-l}. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} \frac{1}{1+R}E\big( Y_{t+1} \mid S_t = S_t(i)\big) &= \frac{1}{1+R}E\left(\frac{V_{t+2}(S_{t+1}u) - V_{t+2}(S_{t+1}l)}{u-l} \mid S_t = S_t(i)\right)\ &= \frac{1}{1+R}E\bigg(\pi_u\frac{V_{t+2}(S_{t+1}(i+1)u) - V_{t+2}(S_{t+1}(i+1)l)}{u-l}\ &\qquad\qquad +\pi_l\frac{V_{t+2}(S_{t+1}(i)u) - V_{t+2}(S_{t+1}(i)l)}{u-l} \mid S_t = S_t(i)\bigg)\ &= \frac{1}{1+R}E\bigg(\pi_u\frac{V_{t+2}(S_{t+2}(i+2)) - V_{t+2}(S_{t+2}(i+1))}{u-l}\ &\qquad\qquad +\pi_l\frac{V_{t+2}(S_{t+2}(i+1)) - V_{t+2}(S_{t+2}(i))}{u-l} \mid S_t = S_t(i)\bigg)\ &=E\left(\frac{V_{t+1}^{i+1}-V_{t+1}^{i}}{u-l}\mid S_t = S_t(i) \right)\ &=E\left(Y_t^i\mid S_t = S_t(i) \right)\ &=Y_t^i. \end{align*} $$ 因此證明了恆等式（1）。