從 SDE 中找到 ODE 的解
考慮 SDE
$$ dS_t = rS_t dt + \sigma S_t dB_t \ \ \ \text{where} \ r \ \text{and} \ \sigma \ \text{are constants} $$ a.) 找到函式的 ODE $ V(x) $ 這樣 $ e^{-rt}V(S_t) $ 是鞅。
b.) 找出 (a) 中 ODE 的所有解。
嘗試解決a。） $ V(t,S_t) $ 是鞅當且僅當 $ V(t,x) $ 滿足
$$ \partial_t V(t,x) + \partial_x V(t,x)\mu(t,x) + \frac{1}{2}\partial_{xx}V(t,x)\sigma^2(t,x) = 0 $$因此設置 $ V(t,x) = V(x)e^{-rt} $ 在上面的等式中，我們有$$ V(x)\partial_t e^{-rt} + e^{-rt}\partial_x V(x)\mu + {\color{red}{\frac{1}{2}}} e^{-rt}\partial_{xx}V(x)\sigma^2 = 0 $$在哪裡 $ \mu = r S_t $ 和 $ \sigma = \sigma S_t $ . 因此函式的 ODE $ V(x) $ 是$$ -rV(x)e^{-rt} + re^{-rt}S_t\frac{d V}{dx} + {\color{red}{\frac{1}{2}}}\sigma^2e^{-rt}S_t^2\frac{d^2 V}{dx^2} = 0 $$ b.) 我們有一個二階常數係數線性微分方程，形式為
$$ aV^{’’} + bV’ + cV = 0 $$在哪裡 $ a = \sigma^2 S_t^{2} $ , $ b = rS_t $ ， 和 $ c = -r $ . 因此，此頌歌的解決方案是$$ V = \begin{cases} Ae^{m_1x} + Be^{m_2x}, & \text{if} \ am^2 + bm + c = 0 \ \text{has distinct real roots}\ e^{ax}( C cos(\beta x) + Dsin(\beta x), & \text{if} \ am^2 + bm + c = 0 \ \text{has roots equal to} \alpha\pm \beta i \ (Ax + B)e^{mx}, & \text{if} \ am^2 + bm + c = 0 \ \text{has 1 repeated root} \end{cases} $$ 不確定這是否正確，非常感謝任何建議。
我只會考慮（b）。從 (a) 部分開始，ODE 的形式為
$$ \begin{align*} -r V(x) +rx\frac{dV(x)}{dx} + \frac{1}{2}\sigma^2 x^2 \frac{d^2V(x)}{dx^2} = 0.\tag{1} \end{align*} $$ 讓 $ x=e^y $ . 然後， $$ \begin{align*} \frac{dV(x)}{dx} &= \frac{dV(e^y)}{dy}\frac{dy}{dx}\ &=\frac{1}{x}\frac{dV(e^y)}{dy},\ \frac{d^2V(x)}{dx^2} &= -\frac{1}{x^2}\frac{dV(e^y)}{dy} + \frac{d^2V(e^y)}{dy^2}\frac{1}{x^2}. \end{align*} $$ 此外，等式（1）現在是形式 $$ \begin{align*} -r V(e^y) +\Big(r-\frac{1}{2}\sigma^2\Big)\frac{dV(e^y)}{dy} + \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{d^2V(e^y)}{dy^2} = 0.\tag{2} \end{align*} $$ 您在問題中顯示的技術現在可用於求解此方程。具體來說， $$ \begin{align*} V(e^y)= Ae^{y}+Be^{-\frac{2r}{\sigma^2} y}. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} V(x)= Ax+Bx^{-\frac{2r}{\sigma^2}}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ A $ 和 $ B $ 是常數。