條件期望公式。與資產定價基本定理有關
讓 $ \lambda $ 是一個機率測度 $ \Omega $ （有限），帶過濾 $ {\mathcal{F}_t} $ . 定義 $ \nu(X) = \lambda\left(X\frac{d\nu}{d\lambda}\right) $ ， 在哪裡 $ \frac{d\nu}{d\lambda} $ 是一個隨機變數，即 $ \nu(\omega) = \lambda(\omega)\frac{d\nu}{d\lambda}(\omega) $ ， 全部 $ \omega\in\Omega $ . 顯示
$$ E\nu[X|\mathcal{F_t}] = \frac{E_{\lambda}\left[X\frac{d\nu}{d\lambda}|\mathcal{F_t}\right]}{E_{\lambda}\left[\frac{d\nu}{d\lambda}|\mathcal{F}_t\right]} $$
回顧資產定價第二基本定理
$$ \frac{d\nu}{d\lambda} = \frac{S_T^{0}}{\lambda(S_T^{0})} $$如果 $ S_T^{0} $ 那麼是一個常數$$ \frac{d\nu}{d\lambda} = 1 \ \ \Rightarrow \ \ \lambda = \nu $$ 測量公式的變化是$$ E_{\nu}[X] = E_{\lambda}\left[X\frac{d\nu}{d\mu}\right] $$ 對於一些可以實現的要求 $ X $ 讓 $ \phi $ 是一個自我融資策略複製 $ X $ 然後由資產定價的第一基本定理
$$ V_t(\phi) = E_{\nu}\left[X\frac{S_t^{0}}{S_T^{0}} |\mathcal{F_t}\right] $$ 我很確定結果將遵循資產定價的這些基本定理之一，但我不確定從這裡去哪裡。抱歉開頭一團糟，如果你需要我寫三個基本定理，我很樂意這樣做。非常感謝任何意見或建議。
替代解決方案 - 適合所有人 $ \omega\in \Omega $ ， 讓 $ \mathcal{F}_t(\omega) = \mathcal{F}_t $ 是包含的分區元素 $ \omega $ . 然後
$$ \begin{align*} E_{\nu}X|\mathcal{F}_t &= \frac{\sum_{\omega\in\mathcal{F}t(\omega)} X(\omega)\nu(\omega)}{\sum{\omega\in\mathcal{F}t(\omega)} \nu(\omega)}\ &= \frac{\sum{\omega\in\mathcal{F}t(\omega)} X(\omega)\lambda(\omega)\frac{d\nu}{d\lambda}(\omega)}{\sum{\omega\in\mathcal{F}t(\omega)}\lambda(\omega)\frac{d\nu}{d\lambda}(\omega)}\ &= \frac{\left( \frac{\sum{\omega\in\mathcal{F}t(\omega)} X(\omega)\lambda(\omega)\frac{d\nu}{d\lambda}(\omega)}{\sum{\omega\in\mathcal{F}t(\omega)} \lambda(\omega)} \right )}{\left(\frac{\sum{\omega\in\mathcal{F}t(\omega)} \lambda(\omega)\frac{d\nu}{d\lambda}(\omega)}{\sum{\omega\in\mathcal{F}t(\omega)} \lambda(\omega)} \right )}\ &= \frac{E{\lambda}\leftX\frac{d\nu}{d\lambda}|\mathcal{F}_t\right}{E_{\lambda}\left\frac{d\nu}{d\lambda}|\mathcal{F}_t\right} \end{align*} $$
讓我們定義 $ \mathbb{Q} $ 和 $ \mathbb{P} $ 過濾空間上的兩個等價機率 $ (\Omega,(\mathcal{F}t){t\geq 0}) $
讓我們定義 $ Z_T=\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} $ 受限於 $ \mathcal{F}_T $ 可衡量的事件。
這意味著對於 $ X_T $ 存在 $ \mathcal{F}_T $ 可衡量的我們有：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_T] = \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[Z_TX_T\right] $$
讓 $ t\leq T $ .
我們想定義機率測度的變化 $ \mathcal{F}_t $ . 即我們想找到 $ Z_t $ 存在 $ \mathcal{F}_t $ 可測量的，使得對於 $ X_t $ 存在 $ \mathbb{F}_t $ 可衡量的，我們有：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_t]= \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[Z_tX_t\right] $$ 根據定義 $ Z_T $ ，並且由於 $ X_t $ 也是 $ \mathcal{F}_T $ 可衡量的，我們有：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_t]= \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[Z_TX_t\right] $$ IE
對於任何 $ X_t $ 存在 $ \mathcal{F}_t $ 我們有可衡量的 $ Z_t $ 存在 $ \mathcal{F}_t $ 可測量的，使得：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_T X_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_t X_t] $$ 所以 $ Z_t = \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_T|\mathcal{F}_t] $ 根據條件期望的定義。
讓 $ Y_T $ 存在 $ \mathcal{F}_T $ 可測量的，那麼我們要計算 $ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_T|\mathcal{F}_t] $ .
我們表示 $ Y_t = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_T|\mathcal{F}_t] $
我們尋找 $ Y_t $ 這樣對於任何 $ X_t $ 存在 $ \mathcal{F}_t $ 可衡量的，我們有：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_TX_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_t X_t] $$ 根據定義 $ Z_T $ 我們有 $ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_TX_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_TY_TX_t] $
根據定義 $ Z_t $ 我們有 $ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_tX_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_tY_tX_t] $
所以我們有：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_TY_TX_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_tY_tX_t] $$ 再次根據條件期望的定義，我們有：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_TY_T|\mathcal{F}_t]=Z_tY_t $$ 我們現在可以使用以下定義得出結論 $ Y_t $ 和 $ Z_t $ .
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_T|\mathcal{F}_t] = \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_TY_T|\mathcal{F}_t]}{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_T|\mathcal{F}_t]} $$