我怎樣才能以更簡單的方式表達這個總和？
例如，我知道第一個的總和 $ 101 $ 自然數可以用以下簡單的計算表示：
$ \sum_{i=1}^{101}i = \frac{101*102}{2} $
問題之一是：這筆錢怎麼辦？
$ \sum_{i=1}^{101}i + \sum_{i=1}^{100}i + … + \sum_{i=1}^{1}i = \sum_{i_1=1}^{101}\sum_{i_2=1}^{i_1}i_2 $
特別是，那 $ nth $ 房屋，即；
$ \sum_{i_1=1}^{101}\sum_{i_2=1}^{i_1}\cdots\sum_{i_n=1}^{i_{n-1}}i_n $
提前致謝！
正如你提到的，我們有
$$ \sum_{l=0}^{k}{p}=\frac{k(k+1)}{2} $$
你要知道
$$ \sum_{k=0}^{n}{\sum_{l=0}^{k}{p}}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{k(k+1)}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}{k^2}+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}{k} $$
你懂的
$$ \sum_{k=0}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
所以 $$ \sum_{k=0}^{n}{\sum_{l=0}^{k}{p}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}+\frac{n(n+1)}{4}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} $$
編輯 ：
我們可以概括它：對於 $ m $ 迭代，總結為 $ k $ ， 我們有
$$ Sum(m,k)=\frac{k(k+1)…(k+m)}{(m+1)!} $$
換一種說法，
$$ Sum(m,k)={m+k \choose k-1} $$
$$ Sum(m+1,n)=\sum_{k=0}^{n}{{m+k \choose k-1}} $$
還，
$$ {m+1 +n \choose n-1}={m+n\choose n-2}+{m+n\choose n-1} $$ $$ {m+n\choose n-2}={m+n-1\choose n-3}+{m+n-1\choose n-2} $$ 我們一直這樣做，直到我們得到 $$ Sum(m+1,n)={m+1 +n \choose n-1} $$