怎麼解決dXt=Xt(σtdWt+μtdt)dXt=Xt(σtdWt+μtdt)dX_t = X_t(sigma_t dW_t + mu_t dt)?
求解 SDE
$$ dX_t = X_t(\sigma_t dW_t + \mu_t dt) $$在哪裡 $ \sigma_t $ , $ \mu_t $ 是確定性的。
嘗試的解決方案
我們有
$$ dX_t = X_t(\sigma_t dW_t + \mu_t dt) $$ 讓 $ f(x) = \log X $ , 應用這個公式我們有 $$ d \log(X_t) = \sigma_t dW_t X_t \frac{1}{X_t} + \mu_t dt X_t \frac{1}{X_t} + \frac{1}{2}\sigma^2 (-\frac{1}{X_t^2} $$ 取消我們的條款
$$ d \log(X_t) = \sigma_t dW_t + \mu_t dt - \frac{1}{2}\sigma^2\frac{1}{X_t^2} $$ 這就是我迷路的地方我很確定這就是我們解決這個 SDE 的方法，但是 $ \frac{1}{X_t^2} $ 學期讓我失望。
讓
$$ dY_t=\mu(t,Y_t)dt+\sigma(t,Y_t)dW_t $$ 和 $ f\in \mathbb{C^2} $ .通過應用伊藤引理，我們有 $$ df(Y_t)=\frac{\partial f}{\partial y}dY_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}d[Y_t,Y_t] $$ 在哪裡$$ \color{red}{d[Y_t,Y_t]=\sigma^2(t,Y_t)dt} $$我們有 $$ dX_t=\mu_t X_tdt+\sigma_t X_t dW_t $$因此 $$ d \ln(X_t)=\frac{1}{X_t}(\mu_t X_tdt+\sigma_t X_t dW_t)+\frac{1}{2}\left(\frac{-1}{X_t^2}\right)(\sigma_t X_t)^2 dt $$ 所以 $$ d \ln(X_t)=\left(\mu_t-\frac{1}{2}\sigma_t^2 \right)dt+\sigma_t dW_t $$ 通過整合 $ [0,t] $ 我們有 $$ \ln\left(\frac{X_t}{X_0}\right)=\int_{0}^{t}\left(\mu_s-\frac{1}{2}\sigma_s^2 \right)ds+\int_{0}^{t}\sigma_s dW_s $$ 換句話說 $$ X_t=x \exp\left(\int_{0}^{t}\left(\mu_s-\frac{1}{2}\sigma_s^2 \right)ds+\int_{0}^{t}\sigma_s dW_s\right) $$ 在哪裡 $ X_0=x $
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