面試題 - 紙牌投注

我今天必須回答面試的問題，我得到了這些問題。我不知道如何回答他們。

一副牌共有 12 張牌，編號為 1 到 12。從牌組中隨機抽出一張牌。回報是 1 美元 x 卡上的價值。

如果您玩一次，您在遊戲上的最大賭注是多少？

如果您玩了 10,000 場比賽，那麼您在每場比賽中的最大賭注是多少？

如果您不喜歡所選擇的牌，您可以要求從牌堆中抽出另一張牌（將第一張牌放回原處），如果您玩一次，您的最大賭注是多少？

這完全取決於您的風險規避程度和跨期替代程度。

假設您是風險中性的：

1. 遊戲只玩一次：你願意付費 $ 6.5 = \sum^{N=12}_{i=1} \frac{1}{12} i $
2. 遊戲被玩了 10,000 次。仍然願意為每場比賽打 6.5 美元。
3. 換卡：每次你的第一次抽牌低於 6.5 時你都會換卡。所以你用 0.5 的機率替換。你願意支付 8 美元來玩這個遊戲。

現在，如果您厭惡風險，則需要假設風險厭惡係數和效用函式。比方說 $ U = \frac{W^{1-\gamma}}{1-\gamma} $ 和 $ \gamma=2 $ .

1. 如果遊戲只玩一次，您的預期效用是 -0.2586。這意味著願意支付 3.86 美元來玩遊戲。（編輯：獲得這個值的方法是計算某個等價物： $ -0.25 = \frac{W^{1-\gamma}}{1-\gamma}) $ ， 代替 $ \gamma $ 用 2 求解 $ W $ .
2. 如果遊戲被玩了 10,000 次，並且沒有時間折扣，您仍然願意每次玩遊戲支付 6.5 美元，因為收益的變異數減小了。
3. 如果您可以選擇放回卡，在這種情況下，您肯定願意支付超過 3.86 美元但少於 8 美元的費用。但我需要繪製決策樹才能確定。

當然作為 $ \gamma $ 增加你的支付意願減少。

最棘手的情況是您的跨期替代係數也很重要。在這種情況下，1 的答案相似，但 2 的答案完全不同。您需要使用 Epstei-Zin 效用函式並評估結果。

經過一番思考，我編輯了上面的第 2 點。事實是，如果遊戲是重複的，即使你厭惡風險，也沒有時間打折你，結果更接近於風險中性。

如果您考慮平均變異數偏好，那麼直覺很簡單，您的效用是：

$ U = E_t[R] - \frac{\gamma}{2} Var(R) $

當您增加平局時，正如@dm 正確指出的那樣，變異數會減少，並且第二項開始消失。你願意為玩 10,000 次遊戲支付的最高金額仍然是 65,000 美元，即每場遊戲 6.5 美元。

這是處理數字的程式碼，您可以在 matlab 中使用更現實的 CRRA 實用函式執行它。

% One draw and repeat experiment 100.000 times
N  = 1;
random_draws = randi([1 12],N,100000);

Expected_value = nanmean(random_draws);
Std = std(random_draws);

% Willingness to pay

% Risk_neutral
W2P_neutral = Expected_value;

% Risk-Averse
gamma = 2;
Utility = ((random_draws).^(1-gamma))./(1-gamma);
Expected_utility = nanmean(Utility);

W2P_averse = ((1-gamma)*Expected_utility).^(1/(1-gamma));



% 10,000 draws and repeat experiment 100.000 times
N = 10000
random_draws = randi([1 12],N,100000);

total_money = sum(random_draws,1);

Expected_value = nanmean(total_money);
Std = std(total_money);

% Willingness to pay per draw

% Risk_neutral
W2P_neutral = Expected_value/N;

% Risk-Averse
gamma = 2;
Utility = ((total_money).^(1-gamma))./(1-gamma);
Expected_utility = nanmean(Utility);

W2P_averse = (((1-gamma)*Expected_utility).^(1/(1-gamma)))/N;

如果遊戲完全按照您所說的方式進行，您為什麼下注超過 1 美元？假設您下注 1 $，那麼您將獲得 1 $ x 卡上的價值。如果您下注 12美元，您將獲得 1美元x 卡片價值。投注超過 1 美元有什麼意義？

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/46405