投資組合對數回報背後的直覺 = 對數回報的加權和

假設我們有 $ n $ 資產，每一項都有權重 $ w_i $ 在投資組合中。資產的對數回報 $ i $ 表示為 $ r_i $ .

為什麼這大致成立的直覺是什麼：

$$ ln \left( \sum_i w_i e^{r_{i,t}}\right) \approx \sum_i w_i r_{i,t} $$

上述關係實際上只是近似。如果您考慮算術回報，那麼它是準確的。

對於近似值，您只需要查看指數的泰勒級數：

$$ e^x = 1 + x + \text{ terms of higher order}. $$ 這些高階項 ( $ x^2 $ 和 $ x^3 $ ) 變小，如果 $ x $ 遠小於 1 - 這適用於回報。因此 $$ \sum_i w_i e^{r_i} \approx \sum_i w_i ( 1+ r_i) = 1 + \sum_i w_i r_i, $$ 如果 $ \sum_i w_i = 1 $ . 然後考慮 $ \ln(1+x) \approx x $ （你可以在這裡查看）你就完成了：

$$ \ln \left(1 + \sum_i w_i r_i \right) \approx \sum_i w_i r_i. $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/33938