BS中障礙期權的PDE定價
BS 框架中的路徑依賴選項在風險中性度量下使用蒙特卡羅定價是直覺的，但似乎可以使用 PDE 對幾種類型進行定價。我了解亞洲期權的故事：收益不僅僅取決於資產價格和時間，因此我們引入了一個新變數，我們的模型恰好再次是馬爾可夫，完整性仍然存在 - 因此只需寫下 Kolmogorov-類似於風險中性度量的期權價格方程。
在障礙選項的情況下，我們通常甚至不需要擴大狀態空間：只需在障礙處引入額外的邊界條件。然而，在 Wilmott 的“金融衍生品數學”和“PWOQF2”中，推導是相當非正式的和手搖晃晃的，類似於*“在觸及障礙之前，期權的價格滿足 BS 方程”*。不過，我不太清楚，為什麼會這樣。
我檢查過的另一本書是 Musiela 和 Rutkowski 的“Martingale 方法”——他們只是計算現值的期望值，有障礙事件的指標——他們使用布朗運動的最大/最小值與布朗運動本身的聯合分佈；那裡一切都是正式的，但沒有在 PDE 的框架中表達。
我因此感興趣：
- BS模型中障礙選項的偏微分方程和邊界條件的正式推導。我還查看了 Shreve 的第 2 卷第 7.3.2 節 - 但引理 7.3.2 中的論點再次有一點非正式，另一方面 - 其餘的證明是通過鞅方法完成的.
- 您能否推薦任何遵循 PDE 方法（而不是鞅/期望方法）並且在數學上嚴謹的數學金融“經典”書籍？
B&S 設置和 PDE 中有關障礙選項的一些更具體的來源
更多關於金融中 PDE 方法的一般性評論
據我所知，Ilya 關於該主題的文獻非常有限。求解偏微分方程意味著求解偏微分方程——在哪種情況下都沒有關係。如果偏微分方程出現在定價環境中，大多數經濟學家將解決這些問題留給純數學家。這就是為什麼幾乎沒有金融書籍會教你如何明確地解決一個問題——這要麼是你在純數學或物理中學到的東西，要麼是代課。
我認為您可能對建立定價和 PDE 之間聯繫的Feynman-Kac等“介面定理”感興趣。
此外，據我所知，沒有統一的基於 PDE 的衍生品定價方法。
還有一些書籍對偏微分方程理論有更廣泛的章節，例如期權定價中的偏微分方程和鞅方法 您可能還會發現以下報告非常全面。（然而重點不是尋找封閉形式的解決方案，而是數值方案）
到目前為止，那是一篇舊文章，但是由於我以某種方式遇到了它，這就是我的看法。Wilmott 正確的原因是，所有為製定香草定價 PDE 所做的假設（我假設您對此感到滿意）在障礙期權的情況下仍然成立。那麼為什麼你會懷疑可以使用相同的 PDE 呢？所以是的，只是邊界條件不同，是的，當您使用相同的 BS 假設時，障礙選項確實滿足 PDE 確實很明顯。
至於probilitator暗示PDE的實際求解通常留給純數學家，我不確定！這應該是工程師（或至少是應用數學家），因為他們喜歡（並因此專門）在實踐中解決問題，純數學家通常更喜歡呆在他們的抽象世界中：）