永久美式期權

制定並解決具有以下收益的永久美式期權的自由邊界問題。

一個。） $ (S - K)_{+} + a $ 在哪裡 $ a > 0 $

b.) $ (K - S)_{+} + a $ 在哪裡 $ a > 0 $

c.) 跨騎

我不知道如何開始，我有一些關於永久美式期權的筆記，但我不知道如何解決這些問題。我沒有太多的 ode 或 pde 經驗，但如果我看到解決方案，我相信我會理解的。

我假設 $ r>0 $ .

讓我們看看a)

讓 $ v $ 成為解決方案。

$ v $ 正在增加（容易證明，取 $ x<y $ 並表明 $ v(x)<v(y) $ 到期的 $ (S^x_t-K)^++a<(S^y_t-K)^++a $

在連續區域 $ C $ ， IE $ x:v(x)>(x-K)^++a $ ， 你有 ：

$$ \text{Black Scholes PDE perpetual case : }\frac{1}{2}\sigma^2x^2v’’(x)+rxv’(x)-rv(x)=0 $$ 解決方案的形式為：

$$ C_1x^{\frac{-2r}{\sigma^2}}+C_2x $$ 現在你必須找出是否 $ C=[0,x^\star) $ 或者 $ (x^\star,+\infty) $ 或更複雜的東西 $ (x^\star_1,x^\star_2) $ …

所以學 $ x\to v(x)-(x-K)^+-a $ ,

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/25553