關於在證明中使用限制的問題
我在爭論中遇到了一個我無法弄清楚的步驟。這基本上是他們如何使用我似乎不理解的限制。上下文是向量自回歸中的局部到統一的漸近線，所以我認為一些做實證工作的人可能知道。
我們有一個 $ K \times K $ 對角矩陣 $ \Lambda := \text{diag}\left( \lambda_1, \dots, \lambda_K \right) $ 我們定義 $ h := \left[ \delta T \right] $ 在哪裡 $ [.] $ 指數字的整數部分，並且 $ \delta \in (0,1) $ 是一些分數。我們想知道會發生什麼 $ \Lambda^h $ 作為 $ T \rightarrow \infty $ . 教科書指出 $$ \begin{align*} \lim_{T \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{\delta \lambda_k}{T} \right)^T = e^{\delta \lambda_k} ; \forall k=1,\dots,K \end{align*} $$ 並推斷 $ \Lambda^h \rightarrow e^{\delta \Lambda} := \text{diag}\left( e^{\delta \lambda_1}, \dots, e^{\delta \lambda_K} \right) $ . 我不太了解正在發生的事情。我看到第一個限制是正確的，但我看不出結論是如何得出的。如果它有幫助，後來作者實際上使用推理來聲稱 $ C^h \rightarrow e^{\delta C} $ ， 但 $ C := I_K + \Lambda/T $ . 現在，在那種情況下，我們有 $ \left( C^h \right)_{k,k} = \left( 1 + \frac{\lambda_k}{T} \right)^{[\delta T]} $ . 我仍然無法看到到底是怎麼回事 $ \delta $ 可以帶入內部呼叫上述參數，但表達式更接近。
任何人都可以在這裡幫助我嗎？
寫下去沒有意義 $ C^h \to e^{\delta C} $ 作為 $ T \to \infty $ 什麼時候 $ C = I_K +\Lambda/T $ 自從 $ e^{\delta C} $ 右邊取決於 $ T $ .
可以確認的是 $ (C^h)_{k,k} \to e^{\delta \lambda_k} $ 作為 $ T \to \infty $ 和 $ \delta $ 固定的。注意
$$ \log (C^h)_{k,k} = \lfloor \delta T\rfloor \log\left(1 + \frac{\lambda_k}{T}\right) = \frac{\lfloor \delta T\rfloor}{T} \log\left(1 + \frac{\lambda_k}{T}\right)^T $$
作為 $ T \to \infty $ 我們顯然有 $ \log\left(1 + \frac{\lambda_k}{T}\right)^T \to \log e^{\lambda_k} = \lambda _k $ ， 自從 $ \log(\cdot) $ 是連續的。
自從 $ \lfloor \delta T\rfloor \leqslant \delta T < \lfloor \delta T\rfloor +1 $ ， 它遵循 $ \delta T -1 < \lfloor \delta T\rfloor \leqslant \delta T $ ， 和$$ \delta - \frac{1}{T} < \frac{\lfloor \delta T\rfloor}{T} \leqslant \delta $$.
因此，根據擠壓定理， $ \frac{\lfloor \delta T\rfloor}{T} \to \delta $ 作為 $ T \to \infty $ ， 和
$$ \lim_{T \to \infty}\log (C^h){k,k} = \lim{T \to \infty}\frac{\lfloor \delta T\rfloor}{T} \lim_{T \to \infty}\log\left(1 + \frac{\lambda_k}{T}\right)^T = \delta \lambda_k $$
因此，通過連續性 $ \log(\cdot) $ ,
$$ \lim_{T \to \infty} (C^h)_{k,k} = e^{\delta \lambda_k} $$