具有股息的兩期二項式模型
考慮風險資產的兩期二項式模型，每期等於一年，並取 $ S_0 = 1 $ , $ u = 1.15 $ 和 $ l = 0.95 $ . 利率是 $ R = .05 $ .
a.) 如果資產在第一期支付其價值的 10% 作為股息，在第二期支付 20%，求 ATM 看漲期權的價格。
b.) 考慮一個更複雜的股息策略，僅在價格上漲時支付 10% 的股息，如果價格在每個時期下跌，則不支付股息。查找 ATM 看漲期權的價格。
請原諒我的教授在他的問題中可能有很多錯誤。我不知道如何解決這個問題以及 ATM 看漲期權是什麼意思。關於二項式模型，我們從未涵蓋過股息。我需要一些幫助，非常感謝任何建議。
(a) 首先，ATM 是指行使價 $ K=S_0 $ . 到第二期末，風險資產具有價值（從上到下） $ S_0 u^2 (1-d_1) (1-d_2)=0.95 $ , $ S_0 ul (1-d_1) (1-d_2)=0.79 $ 和 $ S_0 l^2 (1-d_1) (1-d_2)=0.65 $ . 風險中性機率計算為 $ \hat{\pi}_u=(1+R-l)/(u-l)=1/2 $ 和 $ \hat{\pi}_l=(u-R-1)/(u-l)=1/2 $ . 因此三個階段的機率分別為 1/4、1/2 和 1/4。
期權由終端價格決定
$$ V(S_T)=(S_T-K)_+ $$ 然而，如果 $ K=S_0=1 $ ， 然後 $ V(S_T)=0 $ 當然。那麼 ATM 電話的價格將是 $$ C=\frac{1}{(1+R)^2} \hat{E}(V(S_T))=0. $$ 如果你改變 $ K=0.8 $ ， 然後 $$ C=\frac{1}{(1+R)^2} \hat{E}(V(S_T))= \frac{1}{4}(0.95-0.8) + \frac{1}{2}0 + \frac{1}{4}0. $$ (二)
終端階段是 $ S_0 u^2 (1-d)^2=0.93 $ , $ S_0 u l (1-d)=0.98 $ 和 $ S_0 l^2=0.9 $ . 中性機率不會改變。只需重複 (a) 部分中的步驟，您將獲得零 $ K=S_0 $ 和非零價格 $ K=0.8 $ .