兩期二項式模型，價格與路徑相關
考慮風險資產的兩期二項式模型，每期等於一年，並取 $ S_0 = 1 $ , $ u = 1.03 $ 和 $ l = 0.98 $ . 您如何為具有回報的回溯期權定價（ $ \max_{t=0,1,2}S_t - 1)_{+} $ ? 提示：價格取決於路徑，每條路徑都有回報。
我完全不明白這個問題，任何建議都非常感謝
對於標準歐式期權（即非路徑依賴收益）：
$$ V_0 = \frac {1}{1+R} E [ V (S_T) ] $$ 因為，在 2 期二叉樹中，終端股價 $ S_T $ 可以取 3 個不同的值： $ S_{uu}=S_0u^2 $ , $ S_{ul}=S_0ul $ 和 $ S_{ll}=S_0l^2 $ ，你可以寫出期望：
$$ V_0 = \frac {1}{1+R} (q_{u}^2 V (S_{uu}) + {\color {red}{2}} q_u q_l V ( S_{ul} )+ q_l^2 V (S_{ll})) $$ 和 $ q_u $ 和 $ q_l $ 計算一段時間內上漲/下跌的風險中性機率：
$$ q_u = \frac{(1+R) -l}{u-l} $$ $$ q_l = 1-q_u $$ 和終端選項值 $ V (S_{uu}) $ , $ V (S_{ul}) $ , $ V (S_{ll}) $ 可以通過支付函式來確定，例如
$$ V (S_T) = \max ( S_T - K , 0 ) $$ 看漲期權。
對於依賴於路徑的選項，它幾乎相同，除了 $ V (.) $ 現在是整個路徑的函式 $ {S_0,S_{T-1}, S_T} $ ， 不只是 $ S_T $
$$ V_0 = \frac {1}{1+R} E [ V (S_0,S_{T-1},S_T) ] $$ 因為，在 2 個週期的二叉樹中，您有 4 條可能的路徑：向上/向上、向上/低、低/向上、低/低，您可以將期望寫為：
$$ V_0 = \frac {1}{1+R} (q_{u}^2 V (S_0, S_u, S_{uu}) + q_u q_l V ( S_0, S_u, S_{ul} ) + q_l q_u V ( S_0, S_l, S_{ul} ) + q_l^2 V (S_0, S_l, S_{ll})) $$ 與，如文中給出：
$$ V (S_0, S_{T-1}, S_T) = \max ( \max ( S_0, S_{T-1}, S_T) - K, 0) $$ 對於具有回溯功能的呼叫。 注意在非路徑依賴的情況下，向上/低和低/向上的路徑都以相同的庫存值結束，因此可以聚合，因此因子 $ {\color {red}{2}} $ .