歐拉分解究竟是什麼？
我經常在不同的論文中看到以下聲明：
作為 $ \sigma $ 是齊次的且為 1 次，我們使用歐拉分解並寫 $ \sigma(x)=\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial \sigma(x)}{\partial x_i} $
問題是，我試圖在維基百科上找到它的來源，但我找不到它。有人可以給我指出一個解釋這個歐拉分解的參考資料，或者在這裡給我一個簡短的解釋嗎？
一個函式 $ f : \mathbb R^n\backslash{0} →\mathbb R $ 稱為（正）齊次度 $ k $ 如果
$$ f(\lambda \mathbf x) = \lambda^k f(\mathbf x) , $$ 對全部 $ \lambda > 0 $ . 這裡 $ k $ 可以是任何復數。齊次函式的特徵是 歐拉齊次函式定理。 假設函式 $ f : \mathbb R^n \backslash{0} →\mathbb R $ 是連續可微的。然後 $ f $ 度數齊次 $ k $ 當且僅當 $$ \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})\equiv \sum_{i=1}^nx_i\frac{\partial f}{\partial x_i} = kf(\mathbf{x}). $$
通過對等式兩邊進行微分，立即得出結果 $ f(\lambda \mathbf x) = \lambda^k f(\mathbf x) $ 關於 $ \lambda $ ，應用鍊式法則，並選擇 $ \lambda=1 $ .
反之亦然，積分成立。具體來說，讓 $ \phi(\lambda) = f(\lambda \mathbf{x}) $ . 自從 $ \lambda \mathbf{x} \cdot \nabla f(\lambda\mathbf{x})= k f(\lambda \mathbf{x}) $ , 我們有
$$ \phi’(\lambda) = \mathbf{x} \cdot \nabla f(\lambda \mathbf{x}) = \frac{k}{\lambda} f(\lambda \mathbf{x}) = \frac{k}{\lambda} \phi(\lambda). $$ 因此， $ \phi’(\lambda) - \frac{k}{\lambda} \phi(\lambda) = 0. $ 這意味著 $ \phi(\lambda) = \phi(1) \lambda^k $ . 所以，$$ f(\lambda \mathbf{x}) = \phi(\lambda) = \lambda^k \phi(1) = \lambda^k f(\mathbf{x}), $$所以 $ f $ 度數齊次 $ k $ . **編輯。**與普遍的看法相反，存在度的非線性齊次函式 $ 1 $ ，例如
$$ f(\mathbf x)=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}. $$