關於歐幾里得距離的導數？

我有一個實用功能 $ u(x,z) $ 從 $ \mathbb{R}+ $ 至 $ \mathbb{R+} $ ， 在哪裡 $ x,z \in \mathbb{R}_+ $ .

我想把下面的語句變成數學：“效用函式 $ u $ 隨著歐幾里得距離的增加 $ x $ 和 $ z $ 在增加”。

我可以寫嗎 $ \frac{ d u(g) }{d g}>0 $ ， 在哪裡 $ g=d(x,z)\in \mathbb{R_+} $ 是之間的歐幾里得距離 $ x $ 和 $ z $ ?

正如 Herr K. 指出的，如果你寫 $ \frac{du(g)}{dg} $ ， 然後 $ u $ 的域必須是 $ \mathbb{R}^+ $ 和 $ x,z $ 必須是實數。

你寧願問：

什麼時候 $ u : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $ 隨著增加 $ d(x,z) := |x-z| $ , 我們可以說 $ \frac{du(g)}{dg} > 0 $ ?

是的，如果 $ u(x) $ 在其域中的所有點上都是可微的。

自從 $ \text{range}({d(x,z) : x,z \in \mathbb{R}^+}) = \mathbb{R}^+ $ , $ \frac{du(g)}{dg} $ 相當於寫 $ u’(x) $ 在哪裡 $ x \in \mathbb{R}^+ $ . 為了讓您能夠定義這種方式， $ u $ 必須在其整個域中是可區分的，這可能並不總是如此。

一個更好的方法來驗證是否 $ u $ 隨著增加 $ d $ 將檢查是否 $ u $ 是一個（嚴格）遞增函式，不需要可微性。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/51853