關於“福利獨立”的問題
我正在研究不平等措施（經濟不平等）的一些應用。在閱讀 Kolm 的一篇論文（Kolm, SC, Unequal Inequalities. I, Journal of Economic Theory, 12 pp 416-442, 1976）後，我發現了一個我覺得很有趣的結果，我想知道是否有人對此有參考或證明。
作者介紹了經濟不平等措施的一些公理化，比如 $ I:U\subset\mathbb{R}^n\rightarrow[0,\infty) $ ，例如“公正”（ $ I $ 在排列下是不變的）；轉讓原則（ $ \partial_iI-(x_i-x_j)\partial_jI\geq0 $ ) 等。
以下屬性對我來說很有趣：讓 $ \mathbf{x}=[x_1,\ldots,x_n]^\intercal\in U $ 並表示 $ \bar{\mathbf{x}}=\frac1n\sum^n_{j=1}x_j $ . 作者定義福利指數 $$ \begin{align} \hat{x}(\mathbf{x})&=\bar{\mathbf{x}}-I(\mathbf{x})\ \tilde{x}(\mathbf{x})&=(1-I(\mathbf{x}))\bar{\mathbf{x}} \end{align} $$ 並在他的公理化中引入以下性質：
(1)（絕對）對所有人 $ 1\leq i,j\leq n $ , 口糧 $ \frac{\partial_i\hat{x}}{\partial_j\hat{x}} $ 只取決於 $ x_i $ 和 $ x_j $ ， 那是 $$ \begin{align}\frac{\partial_i\hat{x}}{\partial_j\hat{x}}=\psi_{ij}(x_i,x_j)\tag{1}\label{one}\end{align} $$ 對於某些功能 $ \psi_{ij}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} $ .
(1’)（相對）對於所有人 $ 1\leq i,j\leq n $ , 口糧 $ \frac{\partial_i\tilde{x}}{\partial_j\tilde{x}} $ 只取決於 $ x_i $ 和 $ x_j $ ， 那是 $$ \begin{align}\frac{\partial_i\tilde{x}}{\partial_j\tilde{x}}=\phi_{ij}(x_i,x_j)\tag{1’}\label{onep}\end{align} $$ 對於某些功能 $ \phi_{ij}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} $ .
作者認為，（1）和（1’）可以稱為（或標記為）*福利獨立性。沒有其他屬性 $ I $ 除了大概是平滑的（可以根據需要進行微分）。在這個一般假設下，他說：
經濟學中的著名結果表明，（1）或（1’）等價於說存在這個社會指數的函式，可以寫成每個社會指數的函式之和。 $ x_j $ 的。
數學上，這被作者表達為說有一個（平滑的）函式 $ F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ 和（順利） $ V_j:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} $ ( $ j=1,\ldots,n $ ) 使得 $$ \begin{align} \hat{x}(\mathbf{x})= F\big(\sum^n_{j=1}V_j(x_j)\big)\tag{2}\label{two} \end{align} $$ （同樣對於 $ \tilde{x} $ ).
**問題：**很明顯，如果一個函式 $ \hat{x} $ 是形式 $ \eqref{two} $ , 那麼比率 $ \frac{\partial_i\hat{x}}{\partial_j\hat{x}}=\frac{V’_i(x_i)}{V’(x_j)} $ 取決於 $ \mathbf{x} $ 只有通過 $ x_i $ 和 $ x_j $ . 相反的部分是我不清楚的，即（平滑）函式 $ \hat{x}:U\subset \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} $ 滿足一個屬性，如 $ \eqref{one} $ ， 然後 $ \hat{x} $ 必須是形式 $ \eqref{two} $ ( $ n\geq3 $ ).
任何參考（或與福利指數必須滿足的一些其他條件有關的額外假設）都將受到讚賞。
這一點的證明有點複雜，但並不難。您可以在Goldman 和 Uzawa 的精美論文 (1964) 中找到它，A note on separability in demand analysis, Econometrica, 387-398。它基本上是定理 1。