Acemoglu - 經濟增長導論 - 人力和物質資本之間存在一對一的關係
在書中作者聲稱方程 $ (1) $ $$ f_x(x(t),y(t)) - f_y(x(t),y(t)) = a - b \hspace{10mm} (1) $$ 在哪裡 $ f_x(\cdot) $ 是的偏導數 $ f(\cdot) $ 關於 $ x $ 和 $ a,b $ 是常數，以及條件 $ (2) $ $$ f_{xy}(x(t),y(t)) > 0 \hspace{10mm} (2) $$ 表示兩者之間存在一對一的關係 $ x $ 和 $ y $ 形式的 $$ y = \xi(x) $$ 在哪裡 $ \xi(\cdot) $ 是唯一定義的，嚴格遞增和可微的。
我怎麼看呢？我知道，如果我將這個通用版本替換為使用 Cobb-Douglas 生產函式的版本，例如，我可以更清楚地看到它，但我想了解它一般是如何工作的。
謝謝！
我認為這需要一點上下文來回答，因為在你的問題中你錯過了一大堆背景假設——這不是一個適用於任意函式的結果。
實際描述的方程是從哈密頓量的穩態的一階最優條件導出的
$$ f_k(k(t), h(t)) − f_h(k(t), h(t)) = \delta_k − \delta_h, $$
在哪裡 $ f $ 是生產函式， $ k $ 人均資本和 $ h $ 人均人力資本和 $ \delta_k $ 和 $ \delta_h $ 分別是折舊。此外，如第一段所述，您省略了許多關於生產函式的重要假設。
這些假設太多，無法在此處列出（這些假設需要數頁才能在教科書本身的第 85 頁第 3.3 章和後續頁面中進行解釋），但主要的重要假設（及其含義）是：
- $ f $ 規模報酬不變
- $ f $ 是嚴格凹入的 $ k $ 這樣： $ f (k^∗, h^∗)>f_k(k^∗, h^∗)k^∗ + f (0, h^∗) \implies f (k^∗, h^∗)>f_k(k^∗, h^∗)k^∗ $
- $ f_k(k(t), h(t))>0, f_h(k(t), h(t))>0 $ 和 $ f_{kh}(k(t), h(t))> 0 $ 意味著函式是單調遞增的。
- 稻田條件。
這意味著如果你將生產要素加倍，產出將加倍，並且人們總是希望同時使用人力資本和資本。這意味著人們總是希望與人力資本一起增加資本的使用，而不僅僅是使用一個因素。
因為每當我們增加使用 $ k $ 我們還想增加使用 $ h $ 並且由於它們兩者的邊際生產力之間的差異將始終保持不變，因此它們之間應該存在一些一對一的映射 $ k $ 和 $ h $ 由某個函式描述 $ k=\xi(h) $ . 這也是為什麼教科書假設 $ \xi(\cdot) $ 是嚴格遞增的、唯一的和可微的。它必須嚴格增加，因為更多的人力資本 $ h $ 我們使用的越多，我們就越想使用正常資本 $ k $ . 鑑於我們對模型施加的所有條件，它是獨一無二的，總會有一些獨特的平衡 $ (k^,h^) $ 組合，並且可以微分，因為這顯然是連續函式。此結果也不適用於任何任意函式 $ f $ .