AR（3）模型中兩期預測的代數
我想知道是否有人可以通過一些時間序列代數幫助我填補知識空白，請涉及以下 AR (3)：
$$ x_t = \phi x_{t-1} + \phi_2 x_{t-2} + \phi x_{t-3} + \epsilon_t\qquad \epsilon_t \sim(0,\sigma^2) $$
特別是，有人能指出為什麼替換（突出顯示將第一個下括號替換為第二個下括號）是合法的嗎？
這 $ t+1 $ 給出了預測：
$$ \begin{equation} \begin{split} \underbrace{E(x_{t+1}|x_t,x_{t-1},…)} & = E(\phi_1x_t + \phi_2 x_{t-1} + \phi_3 x_{t-2} + \epsilon_{t+1}|x_t, x_{t-1},…)\ & =\phi_1x_t + \phi_2 x_{t-1} + \phi_3 x_{t-2} \end{split} \end{equation} $$
和 $ t+2 $ 預報
$$ \begin{equation} \begin{split} E(x_{t+2}|x_t,x_{t-1},…) & = \underbrace{E(\phi_1 x_{t+1}} + \phi_2 x_t + \phi_3 x_{t-1} + \epsilon_{t+2}|x_t, x_{t-1},…) \ & = \underbrace{\phi_1E(x_{t+1}|x_t,x_{t-1},…)} + \phi_2x_t +\phi_3 x_{t-1},\ & = \underbrace{\phi_1(\phi_1x_t +\phi_2 x_{t-1} + \phi_3 x_{t-2})} + \phi_2x_t + \phi_3x_{t-1}\ & = (\phi_1^2 + \phi_2)x_t + (\phi_1 \phi_2 + \phi_3)x_{t-1} + \phi_1\phi_3x_{t-2}. \end{split} \end{equation} $$
將不勝感激。
發生了三件事（稍微重寫了期望運算符）：
- 向後遞歸
$$ \begin{equation} \begin{split} x_{t+2} &= \phi_1 x_{t+1} + \phi_2 x_{t} + \phi x_{t-1} + \epsilon_{t+2}\ &= \phi_1(\phi_1 x_{t} + \phi_2 x_{t-1} + \phi x_{t-1} + \epsilon_{t+1}) + \phi_2 x_{t} + \phi x_{t-1} + \epsilon_{t+2}\ &= \cdots \end{split} \end{equation} $$
- 期望運算元的應用/規則： $$ E[a + bX] = a + bE $$ 對於常數 $ a,b $ 和一個隨機變數 $ X $ .
- $$ E_t[\epsilon_{t+h}] = 0 \quad \textrm{for all} \quad h>0 $$
應用這些並收集係數 $ x_t, x_{t-1}, x_{t-2} $ 給你結果。