德布魯定理的應用/推廣
我想知道 Debreu 的論文“Neighboring Economic Agents”中的最後一個定理（La Decision 171 (1969): 85-90；轉載於 G. Debreu，Mathematical Economics: Twenty Papers of Gerard Debreu (1986)，pp. 173 -178) 已被使用：
定理。 對於拓撲空間 $ M $ 和一個度量空間 $ H $ ， 讓 $ \varphi $ 是一個集值映射 $ M $ 到 $ H $ 是緊值的（即 $ \varphi(e) $ 對每個人都很緊湊 $ e \in M $ ) 和連續的。此外，對於每個 $ e \in M $ 讓 $ \lesssim_e $ 完全預購 $ \varphi(e) $ 這樣集合 $ {(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y} $ 已經關閉。然後是集值映射 $ \varphi^0 $ 從 $ M $ 到 $ H $ 在哪裡
$ \varphi^0(e) = {z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)}, \quad e \in M, $
是緊值且上半連續.
請注意，該定理看起來類似於著名的 Berge 最大定理。在陳述定理之前，德布魯寫道，它的特殊情況“在經濟均衡理論和博弈論中被反複使用”，但沒有給出任何參考；在論文本身中，它被用來證明交換經濟中代理人的需求對應的上半連續性。
我對這個定理最近是否有任何使用或推廣特別感興趣，例如對於非緊湊值的映射。
**問題：**對於上述定理的應用，有哪些很好的例子和/或參考資料？它是否已推廣到非緊湊值的映射？
這個結果確實是 Berge 最大定理的一個版本。如果存在連續函式 $ u:M\times H\to\mathbb{R} $ 這樣 $ x\preceq_e z $ 當且僅當 $ u(e,x)\leq u(e,z) $ ，可以直接從 Berge 的最大定理推導出結果。如果 $ H $ 是局部緊緻的，因為如果 $ H=\mathbb{R}^n $ ，那麼總是可以找到這樣的函式，這遵循 Mas-Colell 的*On the Continuous Representation of* Preorders 中的定理 1 （至少如果 $ M $ 是可計量的，我不確定這一點）。有關此類“聯合連續效用函式”的更多資訊，請參見Bridges & Mehta 於 1995 年在偏好排序的表示中的第 8 章。
現在 Debreu 沒有這樣的結果，所以他研究了偏好關係並從本質上否定了 Berge 的最大定理（概括在數學上很簡單）。他為什麼這樣做？要理解這一點，需要理解 Debreu 論文的要點，即在偏好關係上找到一種具有良好特性並使經濟行為連續的拓撲結構。對這種結果的需要來自於具有連續代理的經濟體的文獻。
代理人經濟的連續體是有限經濟序列的極限是什麼意思？一個答案是代理人的特徵分佈收斂於連續經濟中的特徵分佈，因此收斂的概念是分佈收斂。為了使這一想法可行，需要對代理的特徵進行拓撲化。現在，代理人的特徵在於她的禀賦和偏好（在更一般的模型中，她的消費集）。禀賦上有一個自然拓撲，即歐幾里得拓撲，但對偏好進行拓撲化並不那麼簡單，這就是 Debreu 在他的論文中所做的。可以在 Hildenbrand 1974的《大型經濟體的核心和均衡》中找到對這種分配方法的闡述。
現在，在某些情況下，人們想將 Berge 定理應用於非緊緻選擇集。這在研究具有無限維商品空間的經濟體時可能很重要，其中封閉和有界並不意味著緊湊。處理這個問題的一種方法是找到一個緊集，以便當限制在這個集合中時，對應是緊值和非空值的。有大量關於“廣義博弈”或“抽象經濟”（基本上是范式博弈，其中策略空間依賴於其他人的行為）的大量技術性文獻，並且它們通常隱含地包含 Berge 定理的非緊湊推廣。如果你能拿到這本書，請查看 Xian-Zhi Yuan 1999 的第 4 章，KKM Theory and Applications in Nonlinear Analysis. 然而，我的印像是，這些結果被證明在經濟應用中沒有那麼有用。為了證明具有無限維商品空間的模型中瓦爾拉斯均衡的存在，通常使用不同的方法。