Arrow-Debreu 存在定理：非飽和

讓 $ n $ 是消費者的數量和 $ m $ 是商品的數量。

Arrow-Debreu 定理需要封閉和凸消費集 $ X_i \subset \mathbb{R}^m $ 對於所有買家 $ i \in [n] $ . 此外，它需要任何消費者的效用函式 $ i $ , $ u_i: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} $ 在消費集上是連續的、準凹的和非飽和的 $ X_i $ ，其中非飽和定義為 $ \forall \mathbf{x} \in X_i, \exists \mathbf{y} \in X_i $ 這樣 $ u_i(\mathbf{y}) > u_i(\mathbf{x}) $ （第 268-269 頁）。

在我看來，這些假設是矛盾的。如果消費集是封閉的，即緊湊的，因為它是 $ R^m $ . 效用函式的緊湊性和連續性是否不能保證消費集中存在一個使效用最大化的捆綁包，這意味著不滿足不能成立？

將我的評論轉換為答案：

在第 268 頁的底部，作者說：

消費向量集 $ X_i $ 可供個人使用 $ i $ $ (=1,\cdots,m) $ 是一個閉凸子集 $ R^l $ 它是從下面限定的。

$$ Emphasis added. $$ 由於海涅-博雷爾定理確立了 $ S\subset R^n $ 是緊的當且僅當 $ S $ 既是封閉的又是有界的（從下到上），人們不一定得出這樣的結論 $ X_i $ 緊湊。（一個反例是 $ [0,\infty) $ 是封閉的，但不是緊湊的。）

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/42892