連續時間內的平均貼現收益
在閱讀一些模擬連續時間問題的理論論文時，我注意到它們表示平均貼現收益表達式的方式是這種形式，其中 $ r> 0 $ 是貼現率，$$ r\int_0^\infty e^{-rs}u\left(x_s\right)ds $$有人可以向我解釋一下 $ r $ 這個表達式是從哪裡來的？我了解使用 $ e^{-rs} $ 因為它是折扣因子，但不明白為什麼我們還要乘以 $ r $
例如見這篇論文https://elischolar.library.yale.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=3011&context=cowles-discussion-paper-series#page=12。在第 10 頁（PDF 第 12 頁）。
這 $ r $ ， 更確切地說 $ \frac{1}{1/r} $ ，是平均貼現收益的“平均”部分。正如你所注意到的， $ \mathrm e^{-rs} $ 是折扣因子。請注意 $$ \begin{equation} \int_0^\infty \mathrm e^{rs},\mathrm ds = \frac1r. \end{equation} $$ 如果回報是 $ p $ 在每一時刻，貼現收益（沒有平均）是 $ p/r $ . 但是如果我們想得到 $ p $ 作為平均貼現收益，我們將通過以下方式加權貼現因子 $ \frac{1}{1/r} $ 以便 $$ \begin{equation} \int_0^\infty \frac{\mathrm e^{rs}}{1/r}p,\mathrm ds = r\int_0^\infty \mathrm e^{rs}p,\mathrm ds = p. \end{equation} $$
在您提到的論文中，第 10 頁的平均貼現收益來自： $$ \begin{equation} \int_t^\infty (1)\frac{\mathrm e^{-rs}}{1/r},\mathrm ds - \int_0^t \frac{\mathrm e^{-rs}}{1/r} c_i(u_{i,s}),\mathrm ds \end{equation} $$ 其中折扣因子的權重為 $ \frac{1}{1/r} $ .