Blackwell 的收縮充分條件：
我想知道是否有人可以對布萊克威爾的充分條件有一些直覺：
(1) 單調性；(2) 貼現；
聽到用簡單的英語表達這兩個術語，我將不勝感激。
讓 $ X $ 是一個非空集， $ B(X) $ 是有界函式的空間 $ X $ 到 $ \mathbb{R} $ ， 和 $ |\cdot|_\infty $ 超規範 $ B(X) $ . 寫 $ f\leq g $ 為了 $ f,g\in B(X) $ 如果 $ f(x)\leq g(x) $ 對全部 $ x\in X $ . 讓 $ \mathbf{1}\in B(x) $ 是具有恆定值的函式 $ 1 $ .
這是布萊克威爾的結果：
**定理：**讓 $ T:B(X)\to B(X) $ 是一個函式，使得對於某些 $ \beta\in(0,1) $
- 每當 $ f,g\in B(X) $ 滿足 $ f\leq g $ ， 然後 $ T(f)\leq T(g) $ （單調性）。
- 對全部 $ f\in B(X) $ 和 $ \alpha\geq 0 $ 一個有 $ T(f+\alpha\mathbf{1})\leq T(f)+\alpha\beta\mathbf{1} $ （打折）。
然後， $ |T(f)-T(g)|\infty\leq \beta|f-g|\infty $ 對全部 $ f,g\in B(X) $ .
以下論點應該使事情更加透明。拿 $ \alpha\geq 0 $ 足夠大，兩者 $ f\leq g+\alpha\mathbf{1} $ 和 $ g\leq f+\alpha\mathbf{1} $ 持有。由於兩者 $ f $ 和 $ g $ 是有界的，這當然是可能的。
通過單調性， $$ T(f)\leq T\big(g+\alpha\mathbf{1}\big). $$ 通過打折， $$ T(f)\leq T(g)+\beta\alpha\mathbf{1}. $$ 所以，$$ T(f)-T(g)\leq \beta\alpha\mathbf{1}. $$ 通過切換 $ f $ 和 $ g $ ，我們得到 $$ T(g)-T(f)\leq \beta\alpha\mathbf{1}. $$ 它遵循 $$ |T(g)(x)-T(f)(x)|\leq \beta\alpha $$ 對全部 $ x\in X $ ，這意味著 $$ |T(f)-T(g)|\infty\leq \beta\alpha. $$ 要完成證明，只需注意我們可以選擇 $ \alpha=|f-g|\infty $ .
在這裡，單調性保證 $ T $ 保留函式的逐點排序，並且折扣保證如果我們將函式的每個座標增加相同的量，則結果值 $ T $ 最多增加 $ \beta $ 乘以這個數量。
我們甚至希望對兩個函式都使用折扣，其中一個函式都不等於另一個函式加上一個常數。單調性向我們保證，如果一個函式在上面被另一個函式加上一個常數值界定，那麼類似的界限可以用於下面的轉換函式 $ T $ . 這使得折扣更加強大。