煩人的均值/變異數分析

我目前正在撰寫我的論文，其中比較了一系列 ESG 一般均衡模型。我在 Pastor, Stambaugh, Taylor 可持續投資平衡 (2019) 第 42 頁中遇到了這個證明。在這裡，他們證明了從給定的效用函式到模型投資組合權重。這些是我根本不明白它們是如何從第二行開始到第三行的計算： $$ \begin{align} \mathbb{E}( V(\tilde{W}{1i},X_i)) &=\mathbb{E}(-e^{-A_i(W{0i}(1+r_f+X’_i \tilde{r})-b’_iX_i)} \&= -e^{a_i(1+r_f)} \mathbb{E}( e^{-a_i X_i’(\tilde{r}+\frac{1}{a_i} b_i)})\ &= -e^{a_i(1+r_f)} ( e^{-a_i X_i’(\mathbb{E}(\tilde{r})+\frac{1}{a_i} b_i)+\frac{1}{2}a^2_i X’_i\Sigma X_i}) \end{align} $$ 我們之前已經定義 $ \tilde{r}\sim(\mu,\Sigma) $ .

我已經盯著這個看了好幾個小時了。我希望有人可以幫助我提示這兩個步驟之間發生了什麼。

所討論的等式來自對數正態分佈的期望表達式。例如，如果 $ X \stackrel{d}{\sim} N(\mu, \sigma^2) $ ， 然後 $$ E[e^{a X}] = e^{a \mu + \frac12 a^2 \sigma^2}. $$ 這就是 CARA/正態或 CRRA/對數正態（代理效用/資產回報分佈對）設置減少到平均變異數情況，直至確定性等價的原因。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/40270