n維預算超平面
取所有向量的集合 $ x = (x_1, \cdots, x_n) $ 這是解決方案 $ p_1x_1 + \cdots + p_nx_n = I > 0 $ . 表明這組有 $ n-1 $ 方面。
我似乎設法讓自己陷入了這個證明的最後一部分。我沒有使用這個集合是一個超平面並且超平面是 $ n-1 $ 他們所在的空間的尺寸。
很容易證明 $ {x_1, \cdots x_n} $ 跨越我們正在考慮的集合，因為 $ \sum p \cdot x $ 是一個線性組合等等。然而， $ x_n $ 可以表示為的線性組合 $ {x_1 \cdots x_{n-1}} $ :
$$ x_n = \frac{I - (p_1x_1 + \cdots p_{n-1}x_{n-1})}{p_n} $$ 所以我們可以刪除 $ x_n $ 從跨度和結果集仍然跨度。現在我們要展示 $ {x_1, \cdots n_{n-1}} $ 是線性獨立的。也就是說，如果 $ p_1x_1 + \cdots p_{n-1}x_{n-1} = 0 $ ， 全部 $ p_i = 0 $ . 如果該集合是跨越且線性獨立的，則它是一個基。既然它會有 $ n-1 $ 向量，它將是維度的 $ n-1 $ 我們就完了。
所以我注意到 $ p_1x_1 + \cdots + p_{n-1}x_{n-1} = I - p_nx_n $ ， 然後 $ I > 0 $ .
所以我假設有一種情況 $ I - p_nx_n = 0 $ 和在哪裡 $ I - p_nx_n \neq 0 $ . 我不知道如何完成這個證明，這讓我很傷心，因為我認為我只是錯過了一些明顯的東西。任何援助將不勝感激。
讓矩陣 $ A = \begin{bmatrix} p_1 & p_2 & \ldots & p_n \end{bmatrix} $ . 讓 $ \mathbf{x}^* $ 成為一個固定的解決方案 $ A \mathbf{x} = c $ . 那麼對於任何向量 $ \mathbf{u} $ 屬於的零空間 $ A $ ， 我們有 $ A \mathbf{u} = 0 $ 因此 $ \mathbf{x} = \mathbf{x}^* + \mathbf{u} $ 也是一個解決方案（此外，所有解決方案 $ \mathbf{x} $ 可以這樣寫）。解集的維數 $ A\mathbf{x} = c $ 因此是零空間的維數 $ A $ .
由秩零定理，矩陣的秩 $ A $ 加上矩陣的零度（零空間的維數） $ A $ 等於的列數 $ A $ :
$$ \operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n $$ 矩陣 A 的秩為 1（假設不是所有 $ p_i $ 為零），因此無效性是 $ n-1 $ .