模型製定和解決的常識
經濟學模型通常假設經濟結構是代理人之間的常識。
從數學上講，如果一個事件位於所有代理的資訊集的相遇中，它就是公知的。（一家人的相遇 $ \sigma $ -代數是所有算法中最好的普通粗化 $ \sigma $ -家庭中的代數。見 Aumann 1976。）
然而，在文獻中，當一篇論文做出常識假設時，幾乎從未在任何地方看到任何資訊集的相遇。讓我舉一個例子（Grossman 和 Stiglitz 1980）。
格羅斯曼-斯蒂格利茨模型
這是一個模型，其中兩個具有（基本上）均值變異數效用的交易者不對稱地了解均值。根據假設，經濟結構是常識，交易者是理性的。因此，均衡價格首先必須讓市場出清，其次，必須與不知情的交易者的預期相一致。詳情如下。
讓 $ I $ 和 $ U $ 分別表示知情交易者和不知情交易者。交易者擁有相同的 CARA 效用， $ u_I(W) = u_U(W) = - e^{-\gamma W} $ . 無風險利率為 $ r $ . 明天風險資產的價格是 $ P_2 \sim \mathcal{N}(\bar{P}, \sigma^2) | \bar{P} $ . 知情交易者 $ I $ 知道 $ \bar{P} $ ; 不知情的交易者 $ U $ 只知道先驗分佈 $ \bar{P} \sim \mathcal{N}(P_0, \sigma_0^2) $ .
讓交易雙方都有財富禀賦 $ E $ . （CARA 效用沒有財富效應，所以 $ E $ 在下面的投資組合選擇中沒有任何作用。）
鑑於今天的價格 $ P_1 $ 對於風險資產，交易者明天的財富是 $ W(\phi) = rW + \phi (P_2 - rP_1) $ 如果他選擇持有 $ \phi $ 風險資產單位。
最大化期望效用，交易者的需求是
$$ \frac{E[P_2|\mathcal{F}] - rP_1}{\gamma Var(P_2|\mathcal{F})} $$ 以他的資訊集為條件 $ \mathcal{F} $ . 為了 $ I $ , $ \mathcal{F}_I = { \bar{P}, P_1} $ . 為了 $ U $ , $ \mathcal{F}_U = { P_1 } $ .
供應 $ x $ 風險資產分佈 $ \mathcal{N}(\bar{x}, \sigma_x^2) $ .
均衡是價格函式 $ P_1(\bar{P}, x) $ 這樣
$$ \frac{\bar{P} - r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma \sigma^2}+ \frac{E[P_2|P_1(\bar{P}, x)] - r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma Var(P_2|P_1(\bar{P}, x))} = x. $$ 換句話說，市場出清，不知情的交易者在均衡時使用正確的定價函式計算他的需求。
現在在這個 CARA-normal 設置中，事情是線性的，可以通過猜測定價函式來解決均衡問題
$$ P_1(\bar{P}, x) = A\bar{P} + Bx + C $$ 並找到 $ A $ , $ B $ 和 $ C $ 通過匹配係數。例如，計算
$$ E[P_2|P_1] = P_0 + \frac{A \sigma_0^2}{A^2 \sigma_0^2 + B^2 \sigma_x^2} [A(\bar{P} - P_0) + Bx] $$ 和
$$ Var(P_2|P_1) = \frac{B^2 \sigma_x^2}{A^2 \sigma_0^2 + B^2 \sigma_x^2}\sigma_0^2 + \sigma^2 $$ 代入市場出清方程和一些繁瑣的代數給出內生常數 $ A $ , $ B $ ， 和 $ C $ .
相反，格羅斯曼和斯蒂格利茨做得更優雅。他們指出，不知情的交易者 $ U $ 可以以任何實現的剩餘需求為條件 $ (\bar{P},x) $
$$ D_{resid} = x - \frac{\bar{P} - r P_1 }{\gamma \sigma^2}. $$ 更聰明的是，他們注意到，因為 $ P_1 $ 在平衡狀態下觀察到，他們首先推測 $ P_1 $ 和
$$ \tilde{D}_{resid} = x - \frac{\bar{P} }{\gamma \sigma^2}. $$ 在資訊上是等效的。則平衡條件變為
$$ \frac{ r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma \sigma^2}+ \frac{E[P_2|\tilde{D}{resid}] - r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma Var(P_2|\tilde{D}{resid})} = \tilde{D}{resid}. $$ 現在事情變得不那麼乏味了，並且沒有內生常數 $ A $ 和 $ B $ 來解決。 $ E[P_2|\tilde{D}{resid}] $ 是一個仿射函式 $ \tilde{D}{resid} $ 和 $ Var(P_2|\tilde{D}{resid}) $ 是一個外生常數。以便 $ P_1(\bar{P}, x) $ 可以立即退出。自從 $ P_1 $ 是一個仿射函式 $ \tilde{D}_{resid} $ ，事後驗證它們在資訊上是等效的。
問題
讓不知情的交易者 $ U $ 在剩餘需求的條件下，使用常識假設。或者至少， $ U $ 知道 $ I $ 知道所以 $ U $ 可以把自己放進去 $ I $ 的鞋子和電腦 $ I $ 的要求。
然而，資訊集的相遇並沒有出現在任何地方——它應該出現。的結果 $ U $ 的計算應該相對於滿足是可測量的。如果要以數學方式表述這一點，那會出現在哪裡？
兩點。
- 常識是由 Aumann 根據分區定義的，而不是 $ \sigma $ -代數。這些之間通常沒有自然的對應關係。
- 大狀態空間是微不足道的常識。因此，無論您如何設想相關狀態，無處不在的東西，例如模型的結構，都是常識，即使代理只有一個元素的瑣碎知識分區。即使在更明確地建模認知現象時，這實際上也很有用。例如，保證理性常識的一種方法是假設代理人在世界的每個狀態下都是理性的。這就是 Aumann 在他1987 年關於相關均衡的論文中所做的。