互補鬆弛條件 (Kuhn-Tucker)
考慮最大化受不等式約束的平滑函式的問題 $ g(x) \leq b $ . 互補鬆弛條件表示
$$ \lambda[g(x) - b] = 0 $$
經常指出，如果約束在最優時鬆弛（即 $ g(x^) < b $ )，那麼這個條件告訴我們乘數 $ \lambda = 0 $ . 我同意這一點。然而，也有人說，如果約束“綁定”（這意味著 $ g(x^) - b = 0 $ )，我們必須有 $ \lambda > 0 $ . 這是真的？作為一個合乎邏輯的問題，互補的鬆弛條件並沒有立即暗示：我們可以同時擁有 $ g(x^*) - b = 0 $ 並且 $ \lambda = 0 $ .
**編輯：*這裡已經證明了為什麼我們可以同時擁有 $ \lambda = 0 $ 和 $ g(x^) - b = 0 $ （感謝@markleeds 的指針）。然而，我想知道我們是否可以 $ \lambda = 0 $ 而約束也綁定（即對解決方案產生影響 - 請注意，這與具有相等性的約束略有不同）。我懷疑答案是否定的 $ \lambda $ 反映了稍微放鬆對目標函式的約束的效果。但是，我希望能確認這一點。
有可能有
$$ g(x^) = b; {\rm and}; \lambda^ = 0 $$.
當乘數為零且約束等於零時，則
a) 約束並沒有真正“綁定”
b) 這就是乘數為零的原因。
“約束沒有真正綁定”是什麼意思？
這意味著解決方案 $ x^* $ ，這使得 $ g(x^) = b $ ,即使沒有施加約束也會被選中。從這個意義上說，約束並不真正具有約束力*，因為它並沒有真正禁止我們去我們想去的地方，因為我們已經在那裡了。
考慮一個簡單的例子
$$ \max_x {-ax^2 + bx},\qquad s.t. ;x \geq \frac{b}{2a} $$
拉格朗日是
$$ \Lambda = -ax^2 + bx + \lambda \left(x -\frac{b}{2a}\right) $$
焦點是
$$ x = \frac{b+\lambda}{2a} $$.
試用案例：
一種） $ \lambda^* = 0 $ 導致 $ x^* = \frac{b}{2a} $ ，這也是無約束的焦點。
b) $ \lambda^* > 0 $ FOC 最初表示 $ x^* > b/2a $ . 但是約束沒有約束力，我們應該有 $ \lambda^* =0 $ ： 矛盾。
所以我們看到，在這種情況下，解決方案是
$$ x^* = \frac{b}{2a},;;; \lambda^* = 0. $$
因此，約束似乎具有約束力，但實際上並非如此。
你的直覺是正確的。說你知道 $ Z=X\cdot Y=0 $ 你不知道如果 $ X=0 $ 或者 $ Y=0 $ 或兩者都為零。即使你知道 $ X=0 $ 你不知道是否 $ Y=0 $ , $ Y<0 $ ， 或者 $ Y>0 $ .
考慮潛在滿足的效用函式： $$ \max_{X,Y} U(X,Y) = min(X+Y, 5) $$ $$ S.T. :p_x X + p_y Y + p_z Z\leq M $$ 為簡單起見，假設 $ p_x = p_y = p_z =1 $ . 在拉格朗日形式中，這是： $$ \max_{X,Y} U(X,Y) = min(X+Y, 5) - \lambda (X+Y+Z-M) $$ Z 是免費處置商品，因為它消耗了額外的錢，但沒有提供任何效用。如果 $ M>5 $ 然後預算約束綁定。在這種情況下， $ \lambda $ 是更多收入的影子值，也為零。
或者，如果該實用功能不適合您，請考慮： $$ \max_{X,Y} U(X,Y) = -(X+Y-5)^2 - \lambda (X+Y+Z-M) $$
如果 $ X+Y>5 $ 那麼家庭想要使用免費處置和設置 $ X+Y=5 $ . 預算約束沒有約束力，收入的 MU 為零： $ MU_{X+Y+Z=5}=-2(X+Y-5)=0 $ .