計算連續時間存活率
我們有一群不同年齡的人 $ a $ , 時間用 $ t $ . 人們死亡的速度是有規律的， $ d(a, t) $ . 為簡單起見，忽略出生。我想計算年齡分佈隨時間的演變。
讓 $ m(a, t) $ 表示年齡的人數 $ a $ 和時間點 $ t $ . 我將從離散時間近似開始，讓 $ \Delta $ 歸零。在每個離散的時間點，
$$ m(a+\Delta, t+\Delta) = (1-P(a, t))m(a, t) $$ 在哪裡 $ P(a, t) = exp(-d(a,t)\Delta) $ 是離散時間模擬 $ d(a,t) $ . 正如我要讓 $ \Delta\to 0 $ , 我可以近似 $ P $ 和 $ (1-\Delta d) $ :
$$ m(a+\Delta, t+\Delta) = \Delta d(a,t)m(a, t) $$ 問題已經在這裡我無法理解發生了什麼： $ \Delta d(a,t) $ 表示在此期間死亡的人數 $ \Delta $ 年齡 $ a $ 和時間 $ t $ . 這不應該對活著的人**產生負面影響嗎？**我期待著類似的東西
$$ m(a+\Delta, t+\Delta) = (1- \Delta d(a,t))m(a, t) $$
我認為步驟
“…在哪裡 $ P(a, t) = exp(-d(a,t)\Delta) $ 是離散時間模擬 $ d(a,t) $ ……”
是問題所在。
在連續的時間內，我想我們有
$$ \dot m(a,t) = -d(a,t)m(a,t) \implies m(a,t) = m_0\exp {-d(a,t)t} $$ 然後我們有，離散化，
$$ \frac {m(a,t+\Delta) - m(a,t)}{m(a,t)} = \frac {\exp {-d(a,t)(t+\Delta)}-\exp {-d(a,t)t}}{\exp {-d(a,t)t}} $$ $$ =\exp {-d(a,t)\Delta}-1 \approx -d(a,t) $$ $$ \implies d(a,t) \approx 1-\exp {-d(a,t)\Delta} $$ 所以應該是 $ P(a, t) = 1-\exp(-d(a,t)\Delta) $ . 現在 $ a $ 以完全相同的方式改變 $ t $ 確實（在 $ t+\Delta $ 那些年齡 $ a $ 在 $ t $ 將成年 $ a+\Delta $ ）。所以 $ m $ 兩個論點的變化一起。
$$ m(a+\Delta, t+\Delta) = (1-P(a, t))m(a, t) = \exp(-d(a,t)\Delta m(a, t) $$ $$ \approx [1-d(a,t)\Delta]m(a, t) $$ 我將左手邊理解為“成年的人 $ a $ 有時 $ t $ ，並且當時還活著 $ t+\Delta $ , 他們已經成年的地方 $ a+\Delta $ . 這就是你所追求的嗎？